فرآيند وينر (Wiener Process)

مدل‌هاى رفتار قيمت سهم را معمولاً در ارتباط با آنچه که در اصطلاح فرآيند وينر مى‌نامند، بيان مى‌کنند. فرآيند وينر نوع خاصى از فرآيند مارکو مى‌باشد. در فيزيک از اين فرآيند براى توصيف حرکت يک ذره که تحت‌تأثير انبوهى از شوک‌هاى مولکولى قرار مى‌گيرد، استفاده مى‌کنند. بد نيست بدانيد که در برخى مواقع از اين فرآيند تحت عنوان حرکت براونى (Brownian Motion) ياد مى‌شود.


رفتار متغير Z که از فرآيند وينر تبعيت مى‌کند را مى‌توان با در نظر گرفتن متغير روى داده در مقدار آن متغير در فواصل زمانى کوتاه درک کرد. فاصله زمانى کوتاه با اندازه Δt را در نظر گرفته و ΔZ را مقدار تغيير ايجاد شده در اندازه Z طى دوره Δt بناميد. براى آنکه از فرآيند وينر تبعيت کند. ΔZ آن بابت داراى دو مشخصه اصلى زير باشد:


خاصيت اول:

ارتباط ΔZ با Δt از طريق رابطه زير تعيين مى‌شود:


∆ Z = є √ ∆ t


در اين رابطه، ε متغير تصادفى با توزيع نرمال استانداردشدهٔ Z (که داراى انحراف معيار يک و ميانگين صفر است) مى‌باشد.


خاصيت دوم:

مقادير ΔZ بازار هريک از دو لحظه زمانى کوتاه Δt مستقل از يکديگر مى‌باشند. اين امر، از خاصيت اول ΔZ که براساس آن ΔZ داراى توزيع نرمال با:


Δ Z = O ميانگين
Δ Z = √ ∆ t انحراف معیار


است، پيروى مى‌کند. به هر حال، خاصيت دوم ΔZ بيانگر اين امر است که Z داراى فرآيند مارکو مى‌باشد. حال، در نظر بگيريد که مقدار Z طى يک دوره زمانى نسبتاً طولانى که آن را با ”T“ نمايش مى‌دهيم، افزايش يابد. ما اين فراگرد را با حالت زير نشان مى‌دهيم:


Z ( T ) - Z ( O )


مقدار فوق‌الذکر را مى‌توان به مشابه مجموع افزايش در مقادير Z طى N تا دوره زمانى کوچک با اندازه Δt در نظر گرفت که در آن:


N = T / Δ T


بوده و بنابراين:


Z ( T ) - Z ( O ) = n

i=۱
єi √ ∆ t


مى‌باشد. در معادله فوق‌الذکر، εiها به ازاء مقادير (i = ۱، ۲،...،N) متغيرهاى تصادفى از يک توزيع نرمال استاندارد شده مى‌باشند. طبق خاصيت دوم، εiها از يکديگر مستقل مى‌باشند.


از معادله دوم، نتيجه مى‌گيريم که (Z(O ـ (Z (T داراى توزيع نرمال با مشخصات زير مى‌باشد: (۱)


[ Z ( T ) - Z ( O ) ] = O ميانگين
[ Z ( T ) - Z ( O ) ] = √ t انحراف معیار


(۱) . اين امر از يکى از خواص مشهور توزيع نرمال استنتاج مى‌شود. طبق اين خاصيت چنانچه متغير y حاصل مجموع N تا متغير Xi با توزيع نرمال که مستقل از يکديگر بوده و (I ≤ i ≤ n) باشد، y نيز داراى توزيع نرمال خواهد شد. ميانگين y برابر با مجموع ميانگين Xiها مى‌باشد و واريانس آن نيز برابر با مجموع واريانس‌هاى Xiها خواهد بود.


بنابراين، به ازاء هر لحظه زمانى با طول T، افزايش روى داده در مقدار متغيرى که از فرآيند وينر تبعيت مى‌کند، داراى توزيع نرمال يا ميانگين صفر و انحراف معيار T√ خواهد شد. حالا بايست براى شما روشن شده باشد که چرا ZΔ را به‌عنوان حاصل‌ضرب ε و Δt√ تعريف نموديم و آن را تحت عنوان حاصل‌ضرب E و Δt نياورديم. در توزيع‌هاى نرمال مستقل به واريانس‌ها به‌صورت تجمعى بوده، در حالى‌که در مورد انحراف معيارها يک چنين مسئله‌اى صادق نيست. بنابراين، به‌نظر مى‌رسد فرآيند استوکاستيک را طورى تعريف نمائيم که در آن واريانس طول لحظات زمانى موردنظر به‌جاى انحراف معيار آنها مورد استفاده قرار گيرد.


در حساب ديفرانسيل و انتگرال نرديک شدن تغييرات کوچک روى داده در يک متغير به سمت صفر يا حد نشان داده مى‌شود. بنابراين، Δy/Δx در حالت حدى به dy / dx تبديل مى‌شود. در هنگام استفاده از فرآيند استوکاستيک يا زمان پيوسته نيز مى‌توان از اين تکنيک بهره‌مند شد. بنابراين، هنگامى‌که Δt فرآيند ذکرشده در قبل راجع‌به Z به سمت صفر برود (Δt=0) فرآيند استوکاستيک به حالت حدى واقع خواهد شد. بدين ترتيب، حالت حدى معادله (۱) به‌صورت زير خواهد بود:


d Z = є √ d t

فرآيند وينر تعميم‌يافته (Generalized Wiener Process)

فرآيند ذکرشده در بالا، داراى نرخ افزايش (Drift Rate) صفر و واريانس يک بود. نرخ افزايش صفر بيانگر آن است که ارزش مورد انتظار Z در هر لحظه زمانى در آينده برابر با ارزش جارى آن مى‌باشد؛ نرخ واريانس يک نيز بيانگر آن است که واريانس تغيير در Z در يک فاصله زمانى به اندازه T برابر با ۱۰T مى‌باشد. فرآيند وينر تعميم‌يافته براى متغير X نسبت به dZ را به طريق زير نشان مى‌دهيم:


d x = a d t + b d z (۳)


در اين معامله، a و b مقادير ثابت مى‌باشند. به‌منظور اينکه درک بهترى از معادله (۱) داشته باشيد، بهتر است دو جزء ذکرشده در طرف راست آن را به‌صورت جداگانه مورد بررسى قرار دهيم adt بيانگر آن است که متغير X داراى نرخ افزايش (a) در هر واحد زمانى مى‌باشد. بدون در نظر گرفتن bdz معادله فوق به‌صورت زير درخواهد آمد:


d x = a d t
d x / d t = a که بيانگر آن است که:
X = X 0 + a t بوده و يا:


مى‌باشد که در آن Y0 مقدار X در زمان صفر است. طى فاصله زمانى به اندازهٔ T مقدار X به‌ اندازه at افزايش مى‌يابد. جزء bdZ در طرف راست معادله (۳) را مى‌توان به منزله افزودن تغييرپذيرى به مسير طى‌شده توسط X دانست. مقدار اين تغييرپذيرى برابر با b ضرب در فرآيند وينر مى‌باشد. در يک فاصله زمانى کوچک Δt اندازهٔ تغيير در مقدار ايکس، (ΔX)، از معادله‌هاى (۱) و (۳) بوده و توسط رابطهٔ زير به‌دست آورده مى‌شود:


∆ X = a ∆ t є √ ∆ t


در رابطه فوق ε نيز همانند حالت‌هاى قبلى متغير تصادفى از توزيع نرمال استاندارد شده مى‌باشد. با توجه به بحث‌هاى قبلى مى‌توان گفت که ΔX داراى توزيع نرمال با مشخصات زير خواهد بود:


میانگین ∆ X = a ∆ t ، انحراف معیار ∆ X = b √ T ، واریانس ∆ X = b۲ T


بنابراين، فرآيند وينر تعميم يافته داراى نرخ افزايش مورد انتظار (a) و نرخ واريانس (واريانس به ازاء هر واحد زمانى) برابر با b۲ خواهد بود.


براى مثال شرکتى را در نظر بگيريد که جريان نقدينگى آن (به هزار دلار) از فرآيند تعميم‌يافته وينر تبعيت مى‌کند و داراى نرخ افزايش ساليانه‌اى معادل ۲۰ و نرخ واريانس برابر با ۹۰۰ مى‌باشد. در آغاز کار مقدار وجه نقد برابر با ۵۰ دلار است. در پايان سال اول جريان نقدينگى داراى توزيع نرمال يا ميانگين ۷۰ و انحراف معيار 900√و يا ۳۰ خواهد شد. پس از گذشت شش ماه جريان نقدينگى مزبور داراى ميانگين ۶۰ و انحراف معيار 21.21 = 0.5√30 بوده و توزيع آن نيز نرمال خواهد بود. توجه داشته باشيد که عدم اطمينان ما در مورد جريان نقدينگى در آينده (که با انحراف معيار اندازه‌گيرى مى‌شود) افزايش مى‌يابد. همچنين توجه کنيد که وضعيت نقدينگى مى‌تواند منفى نيز باشد. اين حالت در زمانى روى خواهد داد که کمپانى در حال وام‌گيرى است.