فرآيند ITO ـ (ITO Process)

نوع ديگرى از فرآيند استوکاستيک نيز قابل تعريف است، اين فرآيند به فرآيند ITO معروف است. فرآيند ITO نوعى فرآيند وينر تعميم يافته است که در آن پارامترهاى a و b توابعى از متغير مربوطه (X) و زمان (t) مى‌باشند. از نظر جبرى مى‌توان اين فرآيند را از قرار زير بيان نمود:


d X = a ( X, t ) d t + b ( X, t ) d Z


توجه داشته باشيد که هم نرخ افزايش و هم نرخ واريانس فرآيند ITO در طول زمان تغييرپذير مى‌باشند.

قضيه ITO

قيمت اختيار معامله صادره روى يک سهم تابعى از قيمت سهم مزبور و زمان مى‌باشند. به‌صورت کلي، مى‌توان گفت که قيمت هر نوع ورقه بهاءدار مشتقه تابعى از متغيرهاى استوکاستيک مربوط به آن ورقه بهاءدار و زمان است. بنابراين، فردى که در زمينه اوراق بهاءدار مشتقه مطالعه مى‌کند، بايد درک روشنى از رفتار عملکرد متغيرهاى استوکاستيک داشته باشد. رياضى‌دانى به نام ITO در سال ۱۹۵۱(۱) رابطه رياضى مهمى را در اين زمينه کشف کرد. امروزه اين نتيجه‌گيرى قضيه ITO معروف است.


۵۱ ـ K. ITO (1951). “On Stochastic Differential Equations”. Memories، American Society، No. 4، P.P: 1 . (۱)


فرض کنيد مقدار متغير X از فرآيند ITO تبعيت مى‌کند:


( ۹ ) d x = a ( x , t ) d x + b ( x , t ) d z


در اين رابطه ”dz“ فرآيند وينر بوده و a و b توابعى از x و t مى‌باشند. متغير x داراى نرخ افزايش a و نرخ واريانس (۲)∂ مى‌باشد. طبق قضيه G ، ITO به‌عنوان تابعى از x و z از فرآيند زير تبعيت مى‌کند:


  (   ∂ G     ∂ G    ۱  ۲ G   b۲) d t +   d G    
d G =
a +
 +


b d Z ( ۱۰ )
  ∂ x   ∂ t   ۲  ∂ x۲  d x  


در رابطه فوق‌الذکر، dz همان فرآيند وينر مى‌باشد و بنابراين G نيز از فرآيند ITO تبعيت مى‌کند. بدين ترتيب G داراى نرخ افزايشى برابر با:


  ∂ G     ∂ G    ۱  ۲ G   b۲  

a +
 +

∂ x   ∂ t   ۲  ∂ x۲ 


و نرخ واريانس برابر با: (∂G/ ∂X )۲ b۲  خواهد شد.


در بخش قبلى گفتيم که:


d S = µ S d t + σ S d z


بوده که μ و σ ثابت‌هاى اين معادله که مدلى منطقى از نحوه تغيير قيمت‌هاى سهام است، مى‌باشند. طبق قضيه ITO مى‌توان گفت که G به‌عنوان تابعى از s و t داراى فرآيند زير مى‌باشد:


  (   ∂ G µ S +   ∂ G    ۱  ۲ σ۲ S۲ ) d x +   ∂ G    
d G =

+


σ S d z ( ۱۱ )
  ∂ S ∂ t   ۲  ∂ S۲  ∂ S  


توجه داشته باشيد که هم G و هم S تحت‌تأثير يک منبع عدم اطمينان ـ که همان dz است ـ قرار مى‌گيرند، نکته اخيرالذکر در استنتاج نتايج از مدل بلک ـ شولز نقش به‌سزائى دارد.


شايان ذکر است که مى‌توان با قضيه ITO، فرآيند طى‌شده توسط لگاريتم طبيعى قيمت سهام (LnS) را به‌دست آورد. براى اين‌کار G را معادل LnS مى‌گيريم. از آنجائى‌که ∂ G/∂ S=1/s و∂۲ G/∂ S۲ =-1/S۲ و∂ G/∂ t=0 است. مى‌توان با استفاده از معادله (۱۱) نشان داد که فرآيند طى‌شده توسط G از قرار زير مى‌باشد:


  ( µ - σ۲  ) d t + σ d z    
d G =
 
  2  


چون μ و σ ثابت هستند، معادله فوق‌الذکر بيانگر اين خواهد بود که ”G“ از فرآيند تعميم يافته وينر تبعيت مى‌نمايد. بدين ترتيب G داراى نرخ افزايش ثابتى برابر با و نرخ واريانس ثابتى برابر با خواهد شد. با توجه به مطالب قبلي، اين امر بدان‌مفهوم است که تغيير روى داده در G در محدوده زمانى فعلى ”t“ و زمان آينده ”T“ به‌صورت نرمال توزيع شده و داراى ميانگين (µ - σ۲/2 ) ( T - t ), و واريانس  σ۲( T - t ) مى‌باشد. مقدار G هر زمان t برابر با ”LnS“ مى‌باشد. مقدار G در زمان T معادل LnSt بوده که در آن St قيمت سهام در زمان T است. بنابراين، تغيير مقدار G در فاصله زمانى ”t ـ T“ برابر خواهد بود با:


L n St - L n S


و در نتيجه خواهيم داشت:


L n St - L n S ~ ø [ ( µ - σ۲ ) ( T - t ), σ √ T - t ]    

 
2