فرمول‌هاى قيمت‌گذارى بلک ـ شولز:

بلک ـ شولز در کار خارق‌العاده‌اى که انجام دادند، توانستند معادله ديفرانسيلى خود را به‌منظور به‌دست آوردن فرمول دقيقى براى قيمت‌هاى اختيار خريد و اختيار فروش اروپائى حل نمايند. فرمول‌هاى مزبور طى معادلات ارائه شده‌اند.


ارزش مورد انتظار اختيار خريد اروپائى در حالت بى‌تفاوتي، نسبت به ريسک، عبارت است از:


? [ Max ( ST - X) ]


که در آن ? همانند ساير موارد ذکرشده معرف ارزش مورد انتظار در عالم بى‌تفاوتى نسبت به ريسک مى‌باشد. ارزش اختيار خريد اروپائى با استفاده از مباحث ارائه‌شده در مورد ارزش‌گذارى بى‌تفاوت نسبت به ريسک C برابر با مقدار تنزيل‌شدهٔ فرمول مزبور به نرخ بهره بدون ريسک مى‌باشد يعني:


C e-r ( T - t ) ? [ Max ( ST - X, O ) ] ( ۲۰ )


در عالم بى‌تفاوت نسبت به ريسک، لگاريتم طبيعى (ST (LnST داراى احتمال بيان شده در بخش‌هاى قبلى مى‌باشد که در آن r جايگزين μ شده است، بدين‌معنى که:


LnST ~ ø [ LnS + ( r - σ۲ ) (    

T - t ), σ √ T - t ] ( ۲۱ )
۲    


برآورد قسمت راست معادله (۲۰) در واقع کاربرد انتگرال و محاسبات مربوطه مى‌باشد، با اين عمل خواهيم داشت:


C = S N ( d۱ ) - Xe-r ( T - t ) N ( d۲ ) ( ۲۲ )


  d۱ = [ Ln(S/X) + (r + σ۲/2) (T - t) ] / σ √ (T - t)
  d۲ = [ Ln(S/X) + (r + σ۲/2) (T - t) ] / σ √ (T - t) = d۱ -√ (T - t)


در معادلهٔ فوق‌الذکر (N(X تابع توزيع احتمال تجمعى يک متغير يا توزيع نرمال استاندارد شده مى‌باشد (احتمال اينکه متغير مزبور کمتر از X باشد). از آنجائى‌که c = C است (ارزش اختيار خريد اروپائى را با c و ارزش اختيار خريد آمريکائى را با C نشان داده‌ايم)؛ معادله (۲۲) قيمت اختيار خريد آمريکائى صادره روى سهمى که سود پرداخت نمى‌کند را نيز به‌دست مى‌دهد. ارزش اختيار فروش اروپائى را نيز مى‌توان با همان روشى که ارزش اختيار خريد اروپائى را محاسبه نموديم. به‌دست آورد.(۱) با استفاده از رابطه برابرى اختيار خريد ـ اختيار فروش، خواهيم داشت:


(۱). چنانچه ” y “ تابع چگالى احتمال ST در عالم بى‌تفاوتى نسبت به ريسک باشد، که از معادله (۲۱) به‌دست آمده است. معادلهٔ (۲۰) به‌صورت زير درخواهد آمد:


c = e- r ( T - t ) - ∞ ( ST - X ) g ( ST ) d ST  
x


متأسفانه تاکنون فرمول دقيقى براى محاسبه ارزش اختيار فروش آمريکائى صادره روى سهمى که سود پرداخت نمى‌کند، به‌دست نيامده است. براى ارزش‌گذارى اوراق مزبور از روش‌هاى رياضى استفاده مى‌کنند. توجه داشته باشيد که جهت به‌دست آوردن معادلات (۲۲) و (۲۳) فرض کرده‌ايم که مقدار ” r “ ثابت مى‌باشد. در عمل، هنگام استفاده از معادلات (۲۲) و (۲۳) فوق‌الذکر ” r “ را برابر با نرخ بهره بدون ريسک کسب شده روى سرمايه‌گذارى با عمر (t ـ T) (طول عمر اختيار معامله) قرار مى‌دهيم.


P = Xe- r ( T - t ) N ( - d۲  ) - S N  ( d۱ ) ( ۲۳ )


c = e- r ( T - t ) - ∞ ( ST - X ) g ( ST ) d ST  
x


با جايگزينىSt=ew معادله فوق به‌صورت انتگرالى درخواهد آمد که به‌جاى توزيع لگاريتم نرمال از توزيع نرمال استفاه مى‌کند. ادامه اين مطلب عمليات جبرى بسيار مشکلى را مى‌طلبد.

خواص فرمول بلک ـ شولز

در اينجا نشان خواهيم داد که فرمول‌هاى بلک ـ شولز داراى عموميت مى‌باشند. اين‌کار را مى‌توان به ملاحظه مدل در موقعى‌که پارامترهاى آن مقاديرى بزرگ باشند، انجام داد.


زمانى‌که قيمت سهام ” S “ بسيار بزرگ مى‌شود، تقريباً يقين داريم که اختيار خريد توسط دارنده آن اعمال مى‌گردد. در اين حالت، اختيار خريد بسيار شبيه به يک قرارداد سلف با قيمت تبديل X مى‌باشد. با استفاده از معادله زير انتظار داريم که قيمت اختيار خريد برابر باشد با:


S - Xe- r T


که در واقع همان قيمت اختيار خريد است که توسط معادله ? (ST)=Ser (T-t) به‌دست آورده مى‌شود. چرا که در زمانى‌که ? S ? خيلى بزرگ مى‌شود، هم d1 و هم d2 نيز بزرگ مى‌شوند. بنابراين، ( N ( d1 و ( N ( d2 به يک نزديک مى‌شوند. زمانى‌که قيمت سهام خيلى بزرگ مى‌شود، قيمت اختيار فروش اروپائى مربوطه ? P ? به صفر مى‌گرايد. اين مطلب با معادله ( ۲۳ ) نيز سازگارى دارد، چرا که ( N ( d1 و ( N ( d2 هر دو به صفر نزديک‌ هستند. زمانى‌که نوسان‌پذيرى ? σ ? به صفر نزديک مى‌شود، چه اتفاقى خواهد افتاد. از آنجائى‌که، سهام بدون ترديد عارى از ريسک است، قيمت آن با نرخ ? r ? در زمان ? T ? رشد کرده و به SerT خواهد رسيد. در اين حالت، وجوه حاصله از اختيار خريد برابر با:


Max ( Ser T - X, O )


خواهد شد. با تنزيل مقدار فوق‌الذکر ارزش اختيار خريد در حال حاضر برابر خواهد شد با:


er T Max ( Ser T - X, O ) = Max ( Ser T - X, O )


براى اينکه نشان دهيم؛ معادله فوق‌الذکر با معادله (۲۳) سازگارى دارد، اجازه دهيد اول حالتى را در نظر بگيريم که در آنS>Xe-rT مى‌باشد. در اين حالت rT) > 0 ـ L n ( S / X خواهد شد. همچنان که σ به صفر نزديک مى‌شود، d1 و d2 به سمت ∞+ مى‌گرايند. به‌طورى‌که، ( N( d1 و ( N( d2 به عدد يک گرايش پيدا خواهند کرد و معادله (۲۲) به‌صورت زير درخواهد آمد:


C = S - Xe- r T


چنانچهS<Xe-rT  شود، که 0 > rT ـ ( L n ( S / X خواهد شد. همچنان که σ به صفر مى‌گرايد، d1 و d2 به سمت منهاى بى‌نهايت (∞ -) رفته و ( N ( d1 و ( N ( d2 به صفر تنزل مى‌يابند. در اين حالت، قيمت اختيار خريد طبق معادله (۲۲) برابر با صفر خواهد گرديد. بنابراين قيمت اختيار خريد در شرايطى که σ به صفر نزديک مى‌شود، همواره برابر باMax ( S - e- r T , O ) مى‌گردد. به طريق مشابه، نشان داد؛ هنگامى‌که σ به صفر نزديک مى‌شود، قيمت يک اختيار فروش نيز همواره برابر Max (Xe-rT - S, O) با خواهد شد.

قيمت‌گذارى وارانت با استفاده از مدل بلک ـ شولز

مثالى از کاربرد وسيع مدل بلک ـ شولز:

با انجام برخى تعديلات بابت اثر رقيق شدن سهام، مى‌توان از فرمول بلک ـ شولز جهت قيمت‌گذارى وارانت اروپائى منتشره توسط کمپانى روى سهام خود، استفاده نمود. شرکتى را در نظر بگيريد که داراى N سهم و M وارانت اروپائى منتشر شده است. فرض کنيد که هر وارانت مزبور به دارنده آن اجازه مى‌دهد که Y سهم از سهام کمپانى را در زمان T با قيمت X به ازاء هر سهم خريدارى نمايد. چنانچه مقدار ارزش ويژه کمپانى را در زمان T با قيمت X به ازاء هر سهم خريدارى نمايد. چنانچه مقدار ارزش ويژه کمپانى را در زمان T با VT نشان دهيم و فرض کنيم که دارندگان وارانت، وارانت خود را اعمال نمايند، کمپانى جريان نقدينگى ورودى خواهد داشت که برابر با MYX مى‌گردد. با اعمال وارانت، مقدار ارزش ويژه کمپانى افزايش يافته و با VT + M Y X خواهد رسيد. اين ارزش ويژه مربوط به N + MY سهم از سهام عادى بنگاه مى‌باشد؛ به‌طورى‌که، قيمت سهام کمپانى بلافاصله پس از اعمال وارانت برابر خواهد بود با:


V T + M Y X / N + M Y


مقدار درآمد کسب شده توسط دارنده وارانت برابر است با:


Y [ VT + M Y X  - X]    

   
N + M Y     

      و یا :  

N Y   VT    

 Max [
 - X, O]  
N + M Y    N    


خواهد شد. معادله فوق‌الذکر نشان مى‌دهد که ارزش وارانت برابر با ارزش NY / N + MY اختيار خريد صادره روى V/N مى‌باشد. در اين رابطه، V مقدار ارزش ويژه مى‌باشد. ارزش (مقدار) V را مى‌توان از طريق رابطه زير به‌دست آورد:


V = N S + M W


که در آن، V قيمت سهام و W قيمت وارانت مى‌باشد؛ به‌طورى‌که:


V   = S + M    


  W  
N N    


بنابراين، فرمول بلک ـ شولز در معادله (۲۲) قيمت وارانت ” W “ را خواهد داد. البته اين امر مشروط به شرايط زير مى‌باشد:


۱. به‌جاى قيمت سهام S + ( M / N ) W ” ،S “ قرار داده شود.


۲. نوسان‌پذيرى ” σ “ همان نوسان‌پذيرى ارزش ويژه کمپانى باشد (به‌عبارتي، نوسان‌پذيرى ارزش سهام به‌اضافه وارانت و نه نوسان‌پذيرى ارزش سهام به تنهائى).(۱)


۳. فرمول مزبور در (My / N + My) ضرب شود.


1209 ـ B.Lauterhach and P. Schwartz (1990). “Pricing Warrants، Empirical Study of the Black Scholes Model and It's Alternatives” Journal of Finance،95، P.P: 1181 . (۱)


زمانى‌که تعديلات فوق‌الذکر صورت پذيرفت، به فرمولى براى محاسبه W با ارزش وارانت دست خواهيم يافت.