حال اختيار خريد آمريکائى را در نظر بگيريد، در همين مبحث، يادآور شديم که اختيار معامله‌هاى آمريکائى را بايست در غياب سود سهام زودتر از موعد اعمال نمود. ادامه اين مبحث، ما را به اينجا مى‌رساند که در حالت وجود سود، تنها در صورتى اعمال اختيار معامله بهينه است که دقيقاً قبل از شروع تاريخ استحقاق سود قبلى سهام صورت پذيرد. فرض کنيم که n تا تاريخ استحقاق سود قبلى سهام را پيش‌بينى مى‌نمائيم و t۱،.....tn نيز لحظاتى از زمان هستند که دقيقاً قبل از شروع دورهٔ استحقاق سود قبلى سهام قرار دارند. ضمناً tn> ....> t۳>t۲>t۱ مى‌باشد. سود سهام زمان‌هاى مزبور را به ترتيب با، Dn،... D۳، D۲، D۱ نشان مى‌دهيم. ما کار خود را با در نظر گرفتن امکان اعمال سريع اختيار معامله دقيقاً قبل از تاريخ استحقاق سود قبلى سهم پايانى (در زمان tn)، شروع مى‌کنيم. چنانچه اختيار معامله در زمان tn اعمال گردد. سرمايه‌گذار مقدار زير را دريافت خواهد نمود:


S(t n) - X


در صورتى‌که اختيار معامله اعمال نگردد، قيمت سهام به Dn ـ (S(tn تنزل خواهد يافت. همان ‌طورى‌که انتظار داريم، در اين حالت ارزش اختيار معامله بزرگتر از ( (St n - Dn - Xe- r (T-tn ) خواهد گرديد. به دنبال اين امر، خواهيم داشت که اگر St n - Dn - Xe- r (T-tn) >= S(tn) - X گردد، که در آن ( (Dn <= X ( ۱ - e- r (T - tn مى‌باشد، اعمال اختيار معامله در زمان tn بهينه نمى‌باشد. از طرف ديگر، چنانچه:


(۲۴) Dn > X ( ۱ - e- r (T - tn) )


باشد، مى‌توان نشان داد که اعمال اختيار معامله در زمان tn همواره بهينه است. چرا که ارزش اختيار معامله به اندازه کافى بالا است. نامعادله (۲۴)، در حالتى که تاريخ استحقاق سود قبلى سهام پايانى کاملاً نزديک به سررسيد اختيار معامله باشد [(tn ـ T) کوچک باشد] و سود سهام پرداختى بزرگ باشد، برقرار خواهد بود. حال بيائيد زمان (tn - ۱) يعنى تاريخ استحقاق سود قبلى سهام ماقبل آخر را در نظر بگيريم. در صورتى‌که، سرمايه‌گذار اقدام به اعمال اختيار معامله در زمان ( tn - ۱ ) نمايد، مبلغ دريافتى وى برابر است با: X ـ (S(tn - ۱ . در صورتى‌که، اختيار خريد در زمان tn - ۱ اعمال نگردد، قيمت سهام به ۱ـ Dn ـ (S(tn - ۱ تنزل يافته و زودترين زمان بعدى که در آن مى‌توان اختيار معامله را اعمال نمود، tn خواهد گرديد. بنابراين، حد پائينى قيمت اختيار معامله، در صورتى‌که در زمان tn - ۱ اعمال نگردد، برابر خواهد بود با:


S(tn - ۱) - Dn - ۱ - Xe- r ( tn - tn - ۱ )


طبق اين معادله، در صورتى‌که:


S(tn - ۱) - Dn - ۱ - Xe- r ( tn - tn - ۱ ) >= S(tn - ۱) - X


یا:


Dn - ۱ >= X ( ۱ - e- r ( tn - tn - ۱ ) )


باشد، اعمال اختيار معامله در زمان tn - ۱ بهينه نخواهد شد. به طريق مشابه، به ازاء هر i که کوچکتر از n باشد. (i<n)، در صورتى‌که:


Di >= X ( ۱ - e- r (ti + ۱ - tn - ۱) ) ( ۲۵ )


باشد،  اعمال اختيار  معامله  در  زمان  ti  بهينه  نخواهد  شد.  نامعادلهٔ  ( ۲۵ )  تقريباً  معادل   (Di =< Xr ( ti + ۱ - ti مى‌باشد.


با فرض اينکه X بسيار به قيمت جارى سهام نزديک باشد، لازم مى‌آيد تا بازده سود سهام نزديک و يا بالاتر از نرخ بهره بدون ريسک شده تا نامعادله فوق برقرار گردد. البته هميشه اين حالت وجود ندارد. از اين تجزيه و تحليل نتيجه مى‌گيريم که در اغلب موارد، تنها زمانى‌که براى اعمال زودتر از موعد اختيار معامله آمريکائى بايد در نظر گرفت. همان تاريخ استحقاق سود قبلى سهام پايانى ”In“ است. مضاف بر اين، در صورتى‌که به ازاء معادله‌هاى (۲۴) و (۲۵) برقرار باشند، مى‌توانيم با قاطعيت بگوئيم که اعمال اختيار معامله هرگز بهينه نيست.