فلسفه ریاضی

فلسفه معمولا بعنوان یک فعالیت و نیز بعنوان موضوعی ذهنی تعریف می شود

● نظراتی درباره فلاسفه

فلاسفه پیرو "رواقیون" آن را به فیزیک ، اخلاق و منطق تقسیم می‌کردند، برخی دیگر از فلاسفه در سال‌های اخیر برای آن تقسیم‌بندی ما بعدالطبیعه یا متافیزیک معرفت‌شناسی ، منطق و ارزش‌شناسی پیشنهاد کرده‌اند.

علاوه بر تقسیم‌بندی فوق‌الذکر از مسائل فلسفی ، معمولا بررسی مبانی یا انگاشتهای اصولی و مقاصد هر رشته علمی نیز فلسفه نامیده می‌شود. بر این اساس ما طبقه‌بندی‌هایی چون فلسفه فیزیک ، فلسفه هنر ، فلسفه تاریخ و البته فلسفه ریاضی و حتی فلسفه را داریم اچ ، گوردون هولفیش بیان می‌دارد که:

"فلسفه ماموریت دارد به انسان در تفکر عمیق‌تر به نتایج اعمال روزانه‌اش کمک کند تا انسان بتواند با حکمتی بیشتر ، آن نتایجی را برگزیند که به همه انسانها کمک می‌کند تا تفکرشان را عمیق‌تر سازند."

یک فلسفه را می‌توان توضیحی دانست که در آن کوشش می‌شود تا از مجموعه‌ای طبعا پراکنده از تجربیات یک معنی استخراج کند. کار یک فلسفه مشتمل بر تنظیم تجربیات و ارزش‌ها است. فلسفه در جستجوی روابط در میان اشیایی است که معمولا منفک از هم بشمار می‌آیند.

در اینجا به فلسفه‌های معاصر ریاضی پرداخته شده است. فلسفه‌هایی که پیشرفت‌های اخیر ریاضی را بشمار آورده و متاثر از بحران‌های جاری این علوم می‌باشند. سه فلسفه اصلی معاصر از ریاضیات وجود دارد که هر یک از گروه متنابهی از ریاضیدانان و فلاسفه را جذب و هر یک دانش عظیمی از فرهنگ خاص خود را توسعه و گسترش داده است. این فلسفه‌ها عبارتند از: فلسفه منطق‌گرایی که راسل و وایتهد ارائه‌دهندگان اصلی آن هستند. فلسفه شهودگرایی که توسط براور رهنمون می‌شود؛ و فلسفه صورت‌گرایی که توسط هیلبرت رشد و گسترش یافته است.

● فلسفه منطق گرایی

سخن اصلی این فلسفه این است که ریاضیات شاخه‌ای از منطق است در این فلسفه به جای آنکه منطق فقط وسیله‌ای برای ریاضیات باشد. تبدیل به کل ریاضیات می‌شود. همه مفاهیم ریاضیات باید بر حسب مفاهیم منطقی فرمولبندی شوند، همچنین قضیه‌های ریاضی باید به عنوان قضایایی از منطق بیان اثبات شوند. در این دیدگاه تمایز بین منطق در ریاضیات صرفا به مناسبت جنبه عملی و آموزشی آن است. این نظریه برای نخستین بار توسط فرگه و بعدا توسط برترا اندراسل ، بی‌آنکه با فرگه ارتباطی یافته باشد عنوان گردید. وایتهد و راسل در کتاب عظیمی که بنام "اصول ریاضیات" تدوین کردند به دفاع از این نظریه پرداخته‌اند.

● فلسفه شهودگرایان

از شهودگرایان این است که اشیا و برهان‌های ریاضیات را فقط باید با طی گام‌های متوالی و متناهی ساخت، گام‌هایی که شهودا قابل اطلاق بر اعداد طبیعی‌اند. بر طبق نظریه ، پایه ریاضیات غایتا بر شهود اولیه قرار دارد که بدون شک بر حس و درک ما از "قبل و بعد" می‌باشد که به ما اجازه می‌دهد که تا یک شی مشخص و منفرد را درک کنیم، و پس ادراک‌های بعدی متوالیا و بی‌پایان انجام می‌گیرد. در این روند ما رشته‌ای بی‌پایان بدست می‌آوریم که بهترین مثال آن رشته اعداد طبیعی است. سابقه شهودگرایی در فلسفه به زمان کانت ، فیلسوف آلمانی ، بر می‌گردد. ظاهرا درک کانت از اینکه حساب بر مبنای نیروی ذهنی شمارش قرار دارد این است که اعداد وقتی ، و فقط وقتی وجود دارند که به وسیه شمارش در دسترس باشند.

اگر کانت با مجموعه‌ها آشنا بود شاید هم می‌گفت مجموعه‌ها وقتی و فقط وقتی وجود دارند که عضوهای آنها را بتوان شمرد. لذا عددهای اصلی نامتناهی وجود نمی‌توانند داشت زیرا که به عقیده کانت عدد نامتناهی را شمردن نامقدور است. به دلیل مشابه کانت معتقد بود که در هندسه حداکثر طول وجود پیدا نمی‌کند، زیرا ، که هر چند می‌توان خط را از دو طرف امتداد داد اما آن را بطور نامتناهی نمی‌توان امتداد داد (زیرا که این عمل نیازمند وقت نامتناهی است) به این ترتیب هم در مورد اعداد هم در مورد خطوط ، کانت بجای پیروی از عقیده بی‌کران بالفعل به نظریه بی‌کران بالقوه یا کلیات نامعین معتقد بوده است. ارسطو هم در بحث در مسائل فلسفی از قبیل پارادوکس معروف زنون مفهوم نظریه کبیران بالقوه کانت را بکار برده است. در زمان‌های جدید چهره اصلی شهودگرایان که فرد را ساختارگرا می‌نامند ال. جی بروئور ریاضی‌دان هلندی است. به عقیده شهودگرایان هر چند را که نتوان صحت سقمش را ثابت کرد نه صحیح است نه سقیم. بدین ترتیب شهودگرای "قانون طرد شق وسط" وارد می‌کند و بین صحیح یا سقیم شق ثابت "نه صحیح و نه سقیم" را می‌پذیرد.

● فلسفه اشراق

باید توجه داشت که مفهوم شهود در فلسفه شهودگرایی با شهود فلسفی ، آنگونه که بالاخص در بین فلاسفه استدلالی مرسوم بوده است متفاوت است. همانگونه که در فلسفه شهودگرایی ریاضی توضیح داده شد. سابقه شهودگرایی ریاضی به درک کانت فیلسوف آلمانی ، از عدد بر می‌گردد در حالی که فلسفه شهود در مبانی کلی فلسفی که به فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده شده است. یعنی زمانی که فلسفه هنوز به جنبه صرفا استدلالی پیدا نکرده بود و "کشف و شهود ذهنی" هنوز عالی‌ترین راه برای دست‌یافتن به معرفت بوده است. سهروردی ، فیلسوف ایرانی و شیخ فلسفه اشراق نیز تعریف مشابهی برای حکمت اشراقی ارائه کرده است. که از تعاریف و عبارتی که سهروردی به کار برده است معلوم می‌شود که فلسفه (حکمت) اشراقی بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد که یکی از پرورش نیروهای عقلی حاصل می‌شود و دیگری از صفای نفس.

● صورتگرایان

از صورتگرایان این است که ریاضیات با سیستمهای نماد صوری سروکار دارد در واقع از این دیدگاه ریاضیات عبارت است از گردایه‌ای از چنین سیستم‌های مجردی که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی و احکام آن فرمول‌هایی هستند که با این نمادها بیان می‌شوند. این حوزه فلسفی توسط دیوید هیلبرت درست بعد از اتمام بنداشتی‌کردن هندسه توسط وی پایه‌گذاری شد. هیلبرت در کتاب مشهور خود ، مبانی هندسه ، که در سال ۱۸۹۹ میلادی به رشته تحریر در آورده است طی روشهای بنداشتی ملموس اقلیدس را به بنداشتهای صوری امروزی تبدیل نمود. دیدگاه صورتگرایانه زمانی توسط هیلبرت رشد و گسترش یافت که می‌خواست بحرانی را که توسط پارادوکس‌های تئوری مجموعه‌ها بروز کرده و نیز مبارزه‌ای که بوسیله شهودگرایان با ریاضیات کلاسیک شروع شده بود مرتفع سازد.

sciency.blogfa.com