معماران بزرگ این کاخ بلند

سرگذشت ریاضیات به عنوان یکی از فرآورده های ذهن آدمی و بازتابنده روابط علی بین پدیده های طبیعی دریچه تازه یی از شناخت موسوم به معرفت ریاضی به سوی آدمی گسترده است که در مسیر تکامل خود از سه نقطه عطف تاریخی گذر کرده اند

سرگذشت ریاضیات به عنوان یکی از فرآورده های ذهن آدمی و بازتابنده روابط علی بین پدیده های طبیعی دریچه تازه یی از شناخت موسوم به معرفت ریاضی به سوی آدمی گسترده است که در مسیر تکامل خود از سه نقطه عطف تاریخی گذر کرده اند. این مفاهیم سه گانه کلیدی و بنیادی در ریاضیات که آفریننده دگرگونی های ژرف در روابط اجتماعی و فرهنگی و پیشرفت تمدن شدند به ترتیب عبارتند از

۱) منطق یا قوانین فکر

۲) مفهوم تابع بستگی آنها به یک یا n متغیر

۳) مفهوم بی نهایت کوچک و پیدایی آنالیز ریاضی.

دست کم از دو هزار سال پیش از میلاد مسیح و از زمان بابلیان که ریاضیات مدون پدید آمده است و عدد به عنوان یک مفهوم ذهنی از شمارگان اشیا انتزاع شد و به دنبال آن مفاهیم عقلی مجرد از کمیت های مادی و فیزیکی به مثابه مخلوقات آزاد ذهن انسان ابداع شد شالوده نخستین سنگ های کاخ رفیع ریاضیات بنیان نهاده شد. این مفاهیم ذهنی در عصر طلایی یونان که حاصل تمدن های پیشین و برآیند ارتباطات نزدیک با تمدن های شرقی و به ویژه تماس های روزافزون با امپراتوری ایرانیان بوده است، منجر به پیدایی گنجینه یی از متون و تالیفات هندسی و معارف بشری شد که نخستین کوشش های متفکران یونانی را برای تبیین عقلانی جهان انعکاس می دهد. این مفاوضات نظری و فلسفی مبتنی بر رهیافت اصل موضوع- استنتاج، قیاس، استقرا، قضیه و اثبات تعریف و استدلال در آثار ریاضیدانان و متفکران یونان برای تفسیر روابط حاکم بر پدیده های روانی، فکری و اجتماعی تعمیم و کاربرد یافتند و در مجموعه یی فاخر از سنت های کهن و به عنوان میراث ماندگار یونانیان به شیوه شگفت انگیزی منظم و تدوین یافته در منطق ارسطو تبلور می یابد. اما اوج شکوفایی استدلال ریاضی متاثر از منطق ارسطویی در مکتب اسکندرانی و به ویژه در کتاب اصول اقلیدس نفوذ و تاثیر فوق العاده یی در جهان می یابد. در همین راستا است که ژرژ پولیا در کتاب «چگونه مسائل ریاضی را حل کنیم» چاپ پرینستون ۱۹۴۵ که به فارسی نیز ترجمه شده است، می نویسد؛ «با اندکی اغراق می توان گفت بشریت این اندیشه را یعنی اندیشه اثبات ریاضی را تنها از یک شخص و از یک کتاب آموخت، از شخص اقلیدس و از کتاب اصول او.» با پیروزی اصالت عقل و ترکتازی آن در حوزه معرفت، ریاضی کهن تردیدهای بزرگی در قابل اطمینان بودن حواس بشری به عنوان تنها گذرگاه دستیابی به شناخت و ساحت علم پدید آورده بود. این موضوع نخست از سوی اندیشمندان ایلیایی یونان چون پارمنیدس و زنون در بیان مسائلی چون بی نهایت و حرکت مورد مطالعه قرار گرفته بود. اما تنها در اصول اقلیدس بود که واقعیت ذوات ریاضی و احکام حاصل از صدق و کذب آن به صورتی نظام مند از راه تفکر محض مبتنی بر قضایای منطق و با گریز از منشاء تجربی آن مورد بازنگری دقیق قرار گرفته بود. این ویژگی مشخص و آشکار بر همه مفاهیم ریاضی در همه دوران تا زمان ما سایه افکنده است که ابتدا از یک پدیده ملموس آغاز می شود و سپس با تجرید و انتزاع از منشاء تجربی خود جدا می شود و در مسیر تکامل، قدرت آفرینندگی و خلاقیت انسانی را در یک ساختار نظام مند ظاهر می سازد.

فرآیندی که هم اکنون نیز در ریاضیات جاری است و به زحمت می توان برای یکایک مفاهیم آن خاستگاه های تجربی یافت. بدیهی است ریاضیات کلاسیک با همه غنای اندیشگی در بستر فرهنگی سرزمین یونان و روم قدیم افول کرد و به تدریج از قرن هشتم تا پانزدهم میلادی به توسعه، بالندگی و اکتشافات ریاضی بیشتری در تمدن شکوفای اسلامی منتهی شد که مرکز ثقل آن ریاضیدانان ایرانی بودند لیکن فقدان پویایی لازم برای تبیین و تفسیر جهان پیوسته در حال تغییر پیرامون مان، آهنگ پیشرفت ریاضیات را کند کرده بود زیرا مفاهیم کهن ریاضیات کلاسیک به دلیل ماهیت احکام و قضایایش یا رویدادها و پدیده های فیزیکی که پیوسته در حال تغییر، سیال و در حال حرکت بودند، قابل تطبیق نبودند. ابداع متغیر با حروف نمادین xyt با بازدمش روح تغییر در آنها و به ویژه تلفیق جبر یا هندسه توسط دکارت در نیمه اول قرن هفدهم موسوم به هندسه تحلیلی؛ اغراق نیست اگر سخن جان استوارت میل را در قرن نوزدهم اینجا بیاوریم ؛ «ایجاد این هندسه بزرگ ترین قدمی است که تا امروز در راه پیشرفت دانش دقیق برداشته شده است.» به دنبال متغیر مفهوم تابع به ذهن متبادر می شود که نخستین بار توسط گتفرید لایبنیتس از متفکران طراز اول در تاریخ علم به کار رفته است. با رهیافت مفهوم تابع و نمایش تصویر تغییرات تابع با منحنی متناظر با آن در صفحه مختصات کارتزین (دکارتی) جهش بزرگی حاصل شد و همین گوهر بنیادین ریاضی به تعبیر ما انقلاب دوم تاریخ ریاضیات را تشکیل می دهد. هر تابع بستگی بین یک یا چند متغیر را توسط یک قانون یا ضابطه نمایش می دهد. لیکن ماهیت واقعی این ارتباط لزوماً رابطه علت و معلولی مابین آنها را نشان نمی دهد. لایبنیتس با یک رشته اکتشافات پی درپی در بررسی رفتار تابع درصدد برآمد آهنگ تغییرات تابع دلخواهی را در یک نقطه مفروض از آن مورد بررسی قرار دهد. لایبنیتس بدین منظور لازم بود ساز و کار تازه یی برای پیدایی شاخه یی نوین از ریاضیات بیندیشد. وی در ۱۵ سالگی ضمن گردش در شهر زیبای لایپزیک با آثار دکارت آشنایی پیدا کرده بود و به طور جدی آموزه های ریاضی را دنبال می کرد اما دانشگاه لایپزیک برای او کوچک می نمود و قریحه سرشار این نوجوان را ارضا نمی کرد. آنگاه به شهر ینا نزد استاد جوان و معلم ریاضی مشهور اردهارد وایگل مطالعات خود را دنبال کرد اما شکفتگی و نبوغ لایبنیتس زمانی زبانه کشید که شهر کوچک دانشگاهی آلتدرف وابسته به شهر نورنبرگ را پس از اخذ درجه دکترا در رشته حقوق ترک کرد و در ۲۶سالگی به دنبال یک ماموریت سیاسی برای لویی چهاردهم عازم شهر پاریس شد و نزد کریستیان هویگنس ساعت ساز هلندی که ریاضیدان بزرگی نیز بود به شدت و با جدیت تمام آن هم در مدت کوتاهی که باعث شگفتی هویگنس شد به مطالعه ریاضی اقبال نشان داد و تمام اوقات فراغت خود را به مطالعه آثار دکارت، فرما و جان والیس اختصاص داد و به خصوص تحت تاثیر نوشته های بلز پاسکال افق تازه یی از مباحث ریاضی بر او گشوده شد. به جرات می توان گفت طرح اندیشه هایی که وی تا قبل از ۲۰ سالگی طراحی کرده است با وجود گذشت عظیم ترین اکتشافات بشری در قرن نوزدهم و بیستم در عرصه علم و فناوری همچنان بدیع، تازه و نوآوری خود را حفظ کرده است و مایه تغذیه فکری همه اندیشمندان بوده است که پس از او در میدان فلسفه و ریاضیات پژوهش های نظری داشته اند.

یک نمونه از این ایده های بارور لایبنیتس «آنالیز ترکیبی» یا ریاضی کردن فلسفه با استفاده از منطق نمادین ریاضی است که در جبر بول در قرن نوزدهم و اصول ریاضی راسل و وایتهد در سال های نخست قرن بیستم برهان قاطع برای رفع عمده پارادوکس ها و تناقضات بود که از زمان زنون ایلیایی گریبان فلسفه و ریاضی را گرفته بود. بنابراین لایبنیتس به تنهایی نخستین پیشاهنگ منطق نمادین ریاضی است. در همان ۲۰ سالگی در مقاله یی به نام فن ترکیبات چنین نوشت که می خواهد «روشی عام به وجود آورد که در آن تمام حقایق عقلی را بتوان به وسیله محاسبات و علامات بیان کرد. در عین حال این روش می تواند زبانی یا خطی، عام و جهانی باشد.» یکی دیگر از طرح های خلاق لایبنیتس تئوری ریاضی احتمالات است که کاربرد آن در حساب احتمالات و مکانیک کوانتوم اهمیت این بخش از طرح و برنامه لایبنیتس را پیش از پیش آشکار می سازد. اختراع ماشین محاسبه لایبنیتس از جمله دیگر ایده های بارور وی به شمار می رفت که بر ماشین محاسبه پاسکال این مزیت را داشت که علاوه بر جمع و تفریق می توانست ضرب و تقسیم و جذر اعداد را نیز استخراج کند. از همین رو است که تمپل بل ریاضیدان اسکاتلندی تبار امریکایی می نویسد؛ «باورکردنی به نظر نمی رسد که مغز واحدی توانسته باشد مجموعه افکاری را که لایبنیتس روی کاغذ آورده است، به تنهایی به وجود آورد» و سرانجام این مغز زاینده در ۲۹ سالگی در سال ۱۶۷۵ میلادی حساب بی نهایت کوچک ها را ابداع کرد. در رساله او می خوانیم؛ «ورود به نوع جدید محاسبه چه زیبایی حیرت انگیزی دارد. این نوع محاسبه به اندازه فاصله آسمان تا زمین با نوع محاسبه «ویت» تفاوت دارد.»

به راستی بی نهایت کوچک ها چیستند؟ آیا مخلوق تصورات فانتزی لایبنیتس هستند یا در مجموع اعداد حقیقی برای خود جایگاه ویژه یی را دارا هستند. به زعم لایبنیتس بی نهایت کوچک ها مجموعه اعداد گویای ناصفر هستند که به لحاظ قدر مطلق از یک لحظه معین به بعد در جریان تغییر خود از هر عدد کوچک مفروض اپسیلون (ل) کوچک تر هستند.

کمیت بی نهایت کوچک ها از همان آغاز پیدایی توسط پاره یی از ریاضیدانان و فیلسوفان مورد انتقاد و کشمکش فکری بی امان واقع شد و در هاله یی از ابهامات منطقی قرار گرفت اما «هوپیتال» فرانسوی یکی از شاگردان لایبنیتس که قاعده رفع ابهام وی در مشتقگیری در کتاب های دبیرستانی آمده است، نخستین درسنامه حساب دیفرانسیل وانتگرال یا حسابان را در سال ۱۶۹۶ تحت عنوان «آنالیز بی نهایت کوچک ها برای درک منحنی ها» به رشته تحریر درآورد و به عنوان نخستین مدافع لایبنیتس با حرارت تمام بی نهایت کوچک ها را در مبحث اصول محاسبه دیفرانسیل ها به کار بست. بعدها در سراسر قرن هیجدهم و نوزدهم سرنوشت بی نهایت کوچک های لایبنیتس با وجود آنکه در اندیشه ریاضیدانانی چون لاگرانژ و دالامبر از شالوده استوار و منطقی تری برخوردار شدند. لیکن در اندیشه ریاضیدانانی چون کوشی فرانسوی و ویرشتراوس آلمانی با مفهوم جایگزین، یعنی حد، باور به کمیت بی نهایت کوچک ها را از ذهن ریاضیدانان محو کرد تا اینکه در سال ۱۹۶۰ تقریباً ۳۰۰ سال پس از انتشار و ابتکار لایبنیتس مجدداً احیا شد و متعاقب آن کایسلر در سال ۱۹۷۶ همانند هوپیتال درسنامه یی تحت عنوان مبانی حساب بی نهایت کوچک ها، اعداد حقیقی به علاوه کمیت بی نهایت کوچک ها را تحت عنوان اصل موضوع مجموع اعداد ابرحقیقی اینچنین معرفی کرد.

یک ابرحقیقی متناهی است اگر و تنها، به ازای عدد حقیقی N داشته باشیم قدر مطلق X کوچک تر یا مساوی N. پس X در جایی بین +N و N-، روی خط اعداد حقیقی است.

لایبنیتس تنها به ابداع عناصر بی نهایت ها کوچک ها بسنده نکرد بلکه هم او نخستین کسی بود که با محاسبه و مهارت خارق العاده یی پایه های آنالیز ریاضی و حسابان را بر آنها بنا نهاد و با بسط آنالیز و پیدایی معادلات دیفرانسیل سومین انقلاب بزرگ را در تکوین و تکامل ریاضیات پدید آورد. اگرچه ایزاک نیوتن کاشف قانون گرانش با روشی متفاوت از لایبنیتس برای تعیین سرعت حرکت شتاب دار در یک لحظه معین مستقل از او به دو شیوه اندکی متفاوت از هم به همین اکتشاف نائل آمده بود و دوستان و هواداران نیوتن در کشمکش و منازعه یی خصمانه لایبنیتس را به سرقتی علمی متهم کردند. لیکن تحقیقات ریاضیدانان در همان قرن هفدهم این اتهام را از ساحت لایبنیتس مبرا ساخت و مهم تر آنکه انتشار اکتشافات نیوتن اندکی دیرتر و چندین سال بعد از لایبنیتس انجام گرفت. از سوی دیگر محیط و فضای فکری قرن هفدهم آن اندازه اشباع از اندیشه هایی بود که اجازه می داد هر دو ریاضیدان مستقل از یکدیگر و با روشی متفاوت به اکتشاف واحدی نائل آیند. بنابراین بدون آنکه سهم دیگر ریاضیدانان قرن هفدهم را نادیده بگیریم نیوتن و لایبنیتس را می توان آفرینندگان اصلی آنالیز ریاضی و حسابان نامید که تا زمان ما همچنان رو به گسترش است. پس به تحقیق می توان گفت اتکای آنالیز ریاضی بر بی نهایت کوچک ها است. به عبارت دیگر آنالیز ریاضی کاربرد بی نهایت کوچک ها است. حتی امروزه با وجود پیشرفت هایی که در ریاضیات جدید و کامپیوتر پدید آمده است از عظمت و اهمیت این بزرگ ترین و بدیع ترین دستاورد فکری بشر یعنی آنالیز ریاضی که به عنوان مفسر رویدادهای فیزیکی در پهنه فیزیک اقتدار و امپراتوری بلامنازع یافته، نکاسته است و چون خورشید فروزان بر پدیده های طبیعی می تابد و در سایه آن می توان حجاب بین واقعیت عینی و چشمان مان را برداشت و به ژرف ترین و ناب ترین نوع معرفت یعنی معرفت ریاضی نائل آمد. آنالیز ریاضی با یکه تازی بی مانند در همه حوزه های علم و فناوری و در بیان تعبیر و تفسیر نمودهای فیزیکی کنجکاوی های پایان ناپذیر آدمی را برای دریافت رهیافت های تازه به چالش افکنده و در مقام پاسخگویی و حل معضلات علمی و فلسفی و نیز بهبود زندگی مادی و احساس اقناع و رضامندی روح آدمی به صورت مفاهیمی کاملاً انتزاعی بساطت استحکام و زیبایی خود را که از کارآمدی و نظم هماهنگ اجزا پدید می آید، به نمایش گذاشته است. بنابراین دور از واقعیت نیست که ژرژ سیمونز متخصص در آنالیز ریاضی در مقدمه یکی از تالیفات خود مجد و عظمت تمدن غرب را بر پایه ۱۱ معادله دیفرانسیل بیان می کند که بی شک تاثیرگذارترین مولفه در گسترش تمدن و فرهنگ عصر جدید به حساب می آیند. معادلات مشهور نظریه پتانسیل، مکانیک نیوتنی و مکانیک نسبیتی، تنها بخشی از این معادلات ۱۱گانه است که در بالندگی و توسعه علمی نقشی قاطع ایفا کردند.

منوچهر علیزاده