ریاضیدان رمانتیک

بحثی در جامعه شناسی ریاضیات با مروری بر افکار و زندگی لوئیتزن یان براور

کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا، نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان را مطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.منهایم معتقد است: «این که دو ضربدر دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده، در صورتی که در مورد یک اثر تحقیقی در علوم اجتماعی ...می توانیم از «نفوذ پایگاه اجتماعی» پژوهنده در نتایج تحقیقی اش سخن بگوییم» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند، از این رو نمی توان این علوم را به شرایط زندگانی، بویژه جایگاه و مقام دانشمندی که به بسط و توسعه آنها مشغول است، مرتبط نمود.به بیانی دیگر، عوامل اجتماعی نمی توانند در نتایج این گونه اندیشه ها تأثیر گذار باشند و نشانه هایی که نمایانگر اصل و منشأ انسانی آنهاست، در این علوم هویدا نیست.اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخی نشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند که پدیدآورندگان آنها در آن زندگی می کنند.در این مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بود که سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد.

۱) اعتراف نامه ایمان

لوئیتزن اخبرتوس یان براور در ۲۷ فوریه ۱۸۸۱ در حالی که تنها دو دهه به پایان قرن نوزدهم - عصر احساس- باقی بود در هلند به دنیا آمد.وی در ۱۸۹۰ در سن ۹ سالگی وارد دبیرستان شد که این امر تا آن زمان سابقه نداشت.دوران دبیرستان براور بدون هیچ مشکلی سپری شد و در تمام مدت تحصیل شاگرد اول بود.در سال ۱۸۹۵ موفق به دریافت مدرک دبیرستان شد.در پائیز ۱۸۹۷ براور در سن ۱۶ سالگی در رشته ریاضیات در دانشگاه شهری آمستردام ثبت نام کرد.او درس هایش را با شور و شوق فراوانی آغاز کرد.بزودی نبوغ ریاضی وی به وسیله استادان و دانشجویان سال های بالاتر شناخته شد.او از این که به عنوان دانشجوی سال اولی برای عضویت در جامعه «گروه دانشجویان» دعوت شده بود، احساس لذت می کرد اما گروه های شلوغ دانشجویان با آن هیاهوی دوران جوانی چندان مورد پسند براور نبود و رضایت خاطر وی را فراهم نمی کرد.او اساساً فردی اجتماعی نبود.تکبر و کمرویی وی را از ریاضیدانان جوان بزرگتر از خودش دور نگه می داشت.او بیشتر علاقه مند بود که اوقاتش را در خانه و در جمع دوستان شاعرش بگذراند، کسانی همچون کارل آدما وان اسخلتما، جان لاک هرست و آلبرت پلاشرت.این شاعران جوان متعلق به جنبش رمانتیسم قرن نوزدهم بودند و روابط نزدیک براور با آنها سبب شد که وی تحت تأثیر افکار و اندیشه های عصر احساس قرار گیرد که نمودهای آن را می توان در بدبینی و انزواطلبی وی بخوبی دید.

براور در سن ۱۷ سالگی در کلیسای هارلم اعتراف نامه ای را ایراد کرد.وی در «اعتراف نامه ایمان» خود همچون پیتیست ها بر نقش اساسی مکاشفه و راز و نیاز فردی برای درک خداوند تکیه کرد تا بر استدلال های خشک فلسفی و کلامی.براور در بخشی از این اعترافات از مبانی بنیادین ایمانش به خدا می پرسد.او معتقد است که ایمان وی به خدا به خاطر استدلال های عقلانی مبتنی بر پدیده های اطراف وی نیست، بلکه برعکس وی در اعتقاد به خدا از فکر و اندیشه اش به هیچ عنوان کمک نمی گیرد.براور همچون رمانتیست های هم عصرش از عقل می گریزد و سعی دارد که تمام اعتقادات خود را بر پایه احساس و شهود بنا نماید.از نظر او تنها حقیقت، «احساس» خودش است و هیچ واقعیت دیگری مستقل از خودش برای او وجود ندارد.

براور در سال ۱۹۰۴ ازدواج کرد و در طول سال های اولیه زندگی مشترکش بیش از پیش در خود فرو می رفت.او در جست وجو ی تنهایی از آپارتمانی به آپارتمان دیگری در آمستردام نقل مکان می کرد.تنها دوستان نزدیک وی همان سه شاعر رمانتیک بودند.براور گرچه در بیان هنرمندانه احساساتش ناتوان بود، اما احساس قرابت بسیاری با خلق و خوی رمانتیک دوستانش می کرد.بویژه خصلت هایی همچون بدبینی و یأس از جامعه معاصر و طغیان علیه همه اشکال استقرار یافته آن.

وی در تلاش برای بازیافتن خویش، در سال ۱۸۹۹ در حالی که خرقه مشکی گشادی به تن داشت، پیاده سفری به ایتالیا کرد و به زیارت فلورانس و رم رفت.این سفرها نگرشی جهان وطنی به اودادند و سبب فرو رفتن وی در خود و تفکر درباره موضوعاتی همچون: خود، زندگی، ارتباطات بشری، حقیقت و علم شد.این تفکر و تعمق که حاصل روحیه رمانتیک وی بود، افسردگی شدیدی را برای براور در پی داشت و سبب غیبت وی در کلاس های دانشگاه شد.اما فشار خانواده و نیاز به امنیت شغلی و ضعف جسمانی او برای انجام شغل دیگری، مانع ترک فوری تحصیل اش شد، اما این که کل زندگی اش را به ریاضیات اختصاص دهد برایش بیشتر و بیشتر تحمل ناپذیرتر می شد.او خودش را منزوی کرد و در انزوای خود از بیماری عصبی و مزاجی اش رنج می برد و سعی در تحمل حملات عصبی اش داشت.

۲) جهان غمگین

ملاقات براور با ریاضیدان خودساخته ای به نام خریت مانوری تأثیر عمیقی بر وی گذاشت و سبب بازگشت وی به تحصیل و توجه به مسائلی در بنیادهای ریاضیات شد.به طوری که در فوریه سال ۱۹۰۴ مقاله ای درباره توپولوژی در مجله انجمن سلطنتی هلند منتشر کرد.وی در ژوئن همان سال امتحانات نهایی دانشگاه را گذراند.وی پایان نامه اش را با دیدریک یوهانس کورتوخ، ریاضیدان کاربردی برجسته، گذراند و در فصل هایی از آن به مباحث بنیادین ریاضیات پرداخت.این سال ها همزمان با گسترش فلسفه در میان عامه مردم در هلند بود.بولند فیلسوف خودساخته ای بود که در این زمینه فعالیت بسیاری داشت.حملات شدیداللحن وی به ماتریالیسم و لذت گرایی توجه براور را به خود جلب کرد به طوری که وی کتاب «عقل محض- کتابی برای دوستداران حکمت» او را خواند.اما ستایش وی از تفکر و استدلال منطقی بشر، انزجار براور را برانگیخت.

براور در پاسخ به عقل گرایی بولند یک سلسله سخنرانی در سال ۱۹۰۵ تحت عنوان «فلسفه اخلاق» ایراد کرد که بعدها با عنوان «زندگی، هنر و عرفان» منتشر شد.

«زندگی، هنر و عرفان» بیانیه جوانی خشمگین است که هر آنچه را که در سطح روئین جامعه بشری می بیند، انکار می کند و با شور و حرارت و در سبک نهضت ادبی رمانتیسم هلندی و در سال های پایانی قرن نوزدهم به آنها حمله می کند.وی سرچشمه شر و بدی را انسان می داند و معتقد است که انسان جهان را آلوده کرده است.نخستین بخش مقاله وی یعنی «جهان غمگین» نمایانگر نگرش طبیعت گرایانه وی است.براور معتقد است که هلند سرزمینی است که بر روی آبرفت رودخانه های بزرگ قرار دارد.قبل از دخالت بشر میان تپه های شنی و دلتاهای آن از یک سو جزر و مد دریا و حوزه های آبگیر رودخانه ها از سوی دیگر توازن طبیعی برقرار بود.حتی طغیان رودخانه ها هم بخشی از این توازن بود.این سرزمین می توانست محل زندگی انبوهی از نژاد بشر باشد.اما انسان به این مقدار راضی نبود و برای کنترل رودخانه ها، سدها را ساخت و برای آباد کردن زمین ها مسیر رودخانه ها را تغییر داد و برای سهولت حمل و نقل روی دریاها و رودخانه ها، درختان را برید.بدین گونه توازن طبیعت به هم خورد.براور همچون رمانتیک ها در آرزوی گذشته از دست رفته و بازگشت به زندگی بدوی چنین می گوید: «اساساً انسان در تنهایی می زیست و به وسیله طبیعت حمایت می شد.هر فردی می کوشید که توازن خود را میان وسوسه های گناه آمیز حفظ نماید.نه درگیری با دیگران وجود داشت و نه نگرانی درباره آینده از این رو نه کار سخت، نه اندوه، نه تنفر، نه ترس و نه شهوتی وجود داشت.اما بشر گنجایش این موهبت ها را نداشت.او شروع به اعمال کنترل روی همنوعانش کرد و در جست وجو ی قطعیتی در آینده برآمد.بدین گونه توازن طبیعت از بین رفت.

اما براور تنها به مرثیه سرایی درباره دنیای از دست رفته نمی پردازد، بلکه سعی می کند که برای خود راه گریزی از این درد و اندوه بیابد.وی معتقد است برای تعمق و تفکر درباره این جهان حزن آلود انسان باید به درون خود بنگرد.وی در بخش دوم مقاله یعنی «بازگشت به خود» به بررسی چنین سفر درونی می پردازد.او معتقد است که محتوی آگاهی درون انسان به طور مداوم در حال تغییر است.آیا انسان بر این تغییرات اشراف دارد براور بر آن است که هر کسی که درباره پاسخ به این پرسش فکر کند، احتمالاً جواب منفی می دهد، زیرا انسان خود را در جهانی می یابد که خودش آن را نیافریده است.اما آیا انسان قادر است که بر آگاهی خویش تسلط یابد براور معتقد است که این امر امکان پذیر است زیرا تجربه های دینی شاهدی بر این ادعا هستند هنگامی که انسان از شهوات، ترس، آزمندی، فضا، زمان و به طور کلی از تمام دنیای ادراک پذیر دوری جوید، آنگاه احساسات مذهبی را در درون خود می یابد و این نشانگر آن است که انسان قادر است که بر خود کنترل داشته باشد.حال این پرسش مهم مطرح می گردد که «این خود چیست، شما نه می توانید درباره آن چیزی بگویید و نه قادرید درباره اش استدلال کنید.زیرا بخوبی می دانید که هر صحبت و استدلالی درباره خود، توجهی به خود، از فاصله ای دور از آن است.در واقع شما نمی توانید با کلمات، معانی یا استدلالات به خود، نزدیک شوید.این امر تنها به وسیله بازگشت به خود، آن گونه که در نزد شما یافت می شود، امکان پذیر است.»

براور معتقد است هنگامی که انسان به خود بازگردد به چیزی بس مهم دست خواهد یافت و آن احساس وجود خدا است.

ریشه های این رویکرد عرفانی براور به خود و خدا را می توان در نقل قول های وی از عرفای قرون وسطی همچون مایستراکهارت و جاکوب بوهم دید.

همان طور که می بینیم براور زائیده عصر رمانتیسم بود.طغیان در برابر عصر روشنگری و جست وجو ی خویش در احساسات و شهودات فردی، یأس، حزن و بدبینی نسبت به جهانی که در آن می زیست و گرایش به عرفان های شرقی برای از بین بردن این رنج و اندوه، همه و همه حکایتگر ویژگی های عصری بود که تلاش می کرد تا انسان را به ارزش های از دست رفته اش پس از نهضت روشنگری و ظهور سرمایه داری بازگرداند.هر فردی که در این عصر زندگی می کرد به لحاظ خصلت های روحی- فردی خویش، برخی یا تمام این ویژگی ها را به ارث می برد و بازتاب آن در کارش مشاهده می شد.شاعری که در این فضا شعر می گفت، شعرش سبک رمانتیک داشت.فیلسوفی که در این عصر می اندیشید -همچون هامان و هردر- فلسفه اش به جای عقل بر شور باطنی تأکید داشت.معماری که در این زمانه به معماری می پرداخت، معماری گوتیک را بر معماری کلاسیک ترجیح می داد.نقاشی که در این عصر نقاشی می کرد، نقاشی از طبیعت و مناظر را بیش از انواع دیگر نقاشی ها می پسندید.پس آیا امکان نداشت ریاضیدانی مثل براور که در این عصر به تفکر انتزاعی ریاضی می پرداخت، نتیجه تأملاتش یا به عبارت دیگر محصولات ریاضی اش از حال و هوای این عصر نشأت گرفته باشد.

کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا، نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان را مطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.منهایم معتقد است: «این که دو ضرب در دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند، اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخی نشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند.در این مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بود که سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد. بخش اول این مقاله را روز شنبه خوانده اید آنچه پیش روی شماست بخش پایانی این بررسی است.

۳) شهود پایه

عقل گریزی عصر رمانتیک سبب شده بود که براور با دوری جستن از استدلال های عقلی، تلاش کند تا با غور کردن در درون احساساتش به دنبال احساسات بنیادینی بگردد که بتواند اعتقادات زندگی خویش را برآن بنا کند.پس از بازشناختن خود و خدای خویش، بزرگترین دلمشغولی براور تفکر و اندیشیدن درباره ریاضیات بود.ریاضیات چیست و تفکر ریاضی بر چه مبنایی قرار دارد پرسش هایی هستند که وی با آنها روبه رو بود.وی آنقدر ریاضی می دانست که با نظرات ریاضیدانان معاصرش آشنا باشد.آیا ریاضیات همانگونه که راسل و وایتهد می گفتند، چیزی جز منطق نیست یا آنگونه که هیلبرت می گفت مجموعه ای از علائم و نمادهایی است که با اصول و قواعدی که تعریف می شوند، مدل های ریاضی را به وجود می آورند او که ریشه عمیق ترین اعتقاداتش به خود را در درونی ترین احساساتش یافته بود، پس چرا در این مورد نیز به سراغ احساساتش نرود و مبانی ریاضی را در درونی ترین احساساتش نجوید

براور هنگامی که به درون نگری می پردازد و سعی در خود آگاهی دارد، حالت هایی در آگاهی خویش احساس می کند که در آن حالت ها احساسات همچون سیالی می آیند و می روند.وی می گوید: به نظر می رسد که «آگاهی در عمیق ترین مأوایش نوسانی آهسته، غیرارادی و برگشت پذیر میان سکون و احساس است.» ذهن همواره در حال گذر از یک احساس کنونی به احساس کنونی دیگر است.در آخرین حالت، صورت حسی پیشین به عنوان احساس گذشته برای ذهن باقی می ماند، ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین و احساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.براور از ترکیب دو صورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه «دوگانگی» نام می برد.این تجربه به واسطه ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین و احساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.براور از ترکیب دو صورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه دوگانگی نام می برد.این تجربه به واسطه «گذر زمان» به وجود می آید.به عبارت دیگر دوگانگی با گذر زمان متولد می شود.ذهن با انتزاع از تعداد زیادی از تجربه های دوگانگی به نخستین دو عدد طبیعی یعنی ۱ و ۲ می رسد.

● براور این فرایند را چنین توصیف می کند

«ریاضیات وقتی به وجود می آید که دوگانگی هایی که با گذر زمان خلق می شوند، توسط ذهن از هر محتوایی عاری شوند.در آن هنگام این شکل خالی از هر محتوایی که اساس مشترک همه دوگانگی ها است، به عنوان شهود پایه ریاضیات باقی می ماند که بدون هیچ محدودیتی آشکار شده است» (براور ۱۹۴۸ ص ۴۸۲).

در واقع براور معتقد است که انسان اعداد طبیعی را در ذهن خود می سازد.به عبارت دیگر نه خود عمل ساختن و نه مفاهیم ساخته شده، نمی توانند کاملاً از ذهن سازنده آنها جدا باشند.یک مفهوم ریاضی از عملی که آن را به وجود می آورد و به دست می دهد، قابل تفکیک نیست.ذهن تنها یک سازنده یا مادری که وجود مستقلی را می زاید، نیست.اشیای ریاضی تنها به عنوان یک فکر یعنی بخشی از آگاهی حیات دارند.علاوه بر این «ذهن خالق» تماماً درگیر عمل ساختن است.وقتی براور از عمل «آگاهانه» به واسطه «اراده» صحبت می کند در واقع عنصر آزادی را که عنصر حیاتی هر ساختنی است در حوزه ریاضیات وارد می کند.بویژه بخش هایی از ریاضیات که به عنوان عملگرها، رابطه ها و توابع توصیف می شوند.

بنابراین وجود یک شیء ریاضی، حضور آن به عنوان یک فکر در آگاهی است.به عبارت دیگر «خلق شدن یا بودن یا ساخته شدن با عناصری از شهود در شهود پایه است.» در این شهود پایه مفاهیم دوگانگی، در عین حالی که از هم جدا هستند با هم نیز یکی هستند، به گونه ای که تنها در یک عمل شهودی قابل خلق شدن هستند.«یک شهود پایه پیشینی و منفرد که می تواند به عنوان ثبات در تغییر یا وحدت در کثرت توصیف شود...نخستین عمل ساختی ای است که دو چیز جدا از هم را با هم می پندارد.»

پس از نخستین عمل ساختی که منجر به ساخته شدن اعداد ۱ و ۲ می شود، ما می توانیم با تکرار این فرایند اعداد طبیعی بعدی را برای ذهن مشخص کنیم.با این روش هیچ چیزی به عنوان تمامیت کاملی از اعداد طبیعی وجود ندارد.به عبارت دیگر ما نمی توانیم از «مجموعه اعداد طبیعی» صحبت کنیم، بلکه ما تنها می توانیم از فرایند ساخته شدن گام به گام اعداد طبیعی سخن به میان آوریم.

پس از ساخته شدن اعداد طبیعی به روش فوق، می توان از جمع میان دو عدد طبیعی صحبت کرد.برای مثال ما چگونه می دانیم که ۱۲= ۵+۷ می شود ابتدا، در فکرمان ۷ را می سازیم.سپس عمل ساختن ویژه ای که ۷ را به ۵ می افزاید انجام می دهیم.سپس ۱۲ را می سازیم و سرانجام عمل ساختن مقایسه ای را انجام می دهیم که برابر بودن مجموع ۷ و ۵ با ۱۲ را برقرار می سازد.چنین ریاضیاتی که اساس آن بر ساختن گام به گام بر مبنای شهود پایه بنا شده است، ریاضیات شهودی یا ریاضیات ساختی می نامند.

۴) زبان- منطق

جنبش رمانتیک باب این بحث را گشود که روشنگری خصم جهان ارزشی آدمی است و با الگوبرداری یکسویه از علم طبیعی انسان را به شیء فرومی کاهد و جامعه ارگانیک بشری را به جامعه مکانیک مبدل می سازد.تحت تأثیر همین نگاه به دنیای مدرن، براور معتقد است که بشر اولیه به وسیله نگاه، ایما و اشاره و ارتباط های روحی از فواصل دور با یکدیگر ارتباط برقرار می کرد.اما از زمانی که تعقل و تفکر پا به عرصه گذاشت این ارتباط با زبان انجام گرفت.به بیانی دیگر «زبان شریک بلافصل تعقل است».

انسان ها کوشیدند که خود و فرزندانشان را با زبان صوری آموزش دهند که با مشقت بسیاری همراه بود و در برقرار کردن ارتباط میان آنها چندان موفق نبود.نیازها، آرمان ها و آرزوهای انسان ها متفاوتند، از این رو زبان را به معناهای متفاوتی به کار می برند و در نتیجه قادر نیستند با یکدیگر ارتباط مستقیم و بدون ابهام داشته باشند.«زبان تنها می تواند مشایعت کننده فهم و درک متقابل از قبل موجود باشد.» فهم و درکی که به واسطه ارتباط میان روح انسان ها به وجود آمده است.از نظر براور «زبان تنها در فرهنگ بشری و به واسطه آن به حیات خود ادامه می دهد که از طرفی به فهمی متقابل نیازمند است و از طرف دیگر ارتباط مستقیم میان انسان ها را ناممکن می سازد.» از این رو انسان ها «در ترس و واهمه تنهایی خودشان به صورت ماشین هایی اتوماتیک درمی آیند، بردگان ماشین غول پیکر ارتباط جمعی» حقیقت اغلب به وسیله کلمات یا ترکیبات پیچیده ای از کلمات، که از زبان جمعی وام گرفته شده است، انتقال داده می شود.بنابراین برای موضوعی که به وسیله زبان بیان می شود، یعنی با مجموعه ای از کلمات، همواره تعریفی از پیش ارائه شده وجود دارد که افراد مطابق آن با موضوع رفتار می کنند.همچنین سیستمی از قوانین کلی به نام منطق وجود دارد که می توان موضوع مورد نظر را از مجموعه ای از سیستم های کلمه ای استنتاج کرد.در این حالت نیز حقیقت موضوع مورد نظر به وسیله منطق تحت تأثیر قرار می گیرد و دوباره افراد به جای آن که با حقیقت موضوع در رابطه باشند، تحت تأثیر منطق با آن رفتار می کنند.بنابراین «منطق ابزار اطمینان بخشی برای کشف حقایق نیست» اما ریاضیات کلاسیک از همین منطق برای رسیدن به حقایق ناشناخته استفاده می کند.و به شکل ویژه ای اصل طرد شق ثالث را برای اثبات های ریاضی به کار می گیرد که مطابق آن یک گزاره یا صادق یا کاذب است.

براور معتقد است که «ریاضیات شهودگرایی نشان می دهد که قضایای ریاضیات به طور صریح و قطعی از ساختن های درون نگرانه استنتاج می شود» و از این رو معتبر است.اگر منطق نیز بخواهد قابل اتکا و اطمینان باشد باید شیوه ساختنی بودن متناهی را به کار گیرد که مطابق آن قانون طرد شق ثالث نفی می شود.

عدد x را در نظر بگیرید که برابر k(۱-) تعریف می شود، که در آن k شماره نخستین رقم در بسط اعشاری عدد پی است که دنباله ارقام متوالی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ با آن شروع می شود، و در صورت نبودن چنین kیی، ۰=x است حال گرچه x خوش تعریف است، نمی توانیم بلادرنگ، تحت محدودیت های شهودگرا، بگوییم که گزاره ۰=x درست یا نادرست است.تنها به شرطی می توان گفت این گزاره درست است که برهانی از آن را بتوان با تعدادی مراحل متناهی ساخت، و تنها به شرطی می توان گفت نادرست است که برهانی از چنین وضع با تعدادی مراحل متناهی ساخته شود.مادامی که یکی از این دو برهان ساخته نشده اند، گزاره نه درست است و نه نادرست و قانون طرد شق ثالث غیرقابل کاربرد است.اما اگر k را به عددی کوچکتر از مثلاً یک بیلیون محدود کنیم، آن گاه کاملاً درست است بگوییم که اینک گزاره درست یا نادرست است، زیرا، برای k کوچکتر از یک بیلیون، درستی یا نادرستی گزاره را مطمئناً می توان طی یک رشته متناهی از محاسبات تعیین کرد.

بنابراین، برای شهودگرایان، قانون طرد شق ثالث برای مجموعه های متناهی برقرار است، ولی نباید آن را در مورد مجموعه های نامتناهی در ریاضیات به کار برد.آنگونه که ایوز، مورخ مشهور ریاضیات می گوید، «براور تقصیر چنین اوضاعی را به گردن بسط منطق از لحاظ جامعه شناختی می اندازد.قوانین منطق در زمانی از تکامل انسان ظاهر شده است که وی زبان مناسبی برای پرداختن به مجموعه های متناهی از پدیده ها در اختیار داشته است؛ او سپس خطای به کار بردن این قوانین را در مجموعه های نامتناهی در ریاضیات مرتکب و نتیجه آن شده است که تعارض ها در احکام ظاهر شوند.»

مطابق این ریاضیات، تصور صدق یا کذب یک حکم ریاضی مستقل از معرفت ما نسبت به آن حکم، بی معنی است.یک حکم راست است، اگر برهانی برای آن داشته باشیم، یعنی روشی ساختی که در نهایت به آن حکم برسیم.همچنین یک حکم غلط است، اگر بتوانیم نشان دهیم که فرض این که برهانی برای آن وجود دارد، منجر به تناقض می شود.برای مثال A^B درست است، اگر بتوانیم برهانی برای آن ارائه دهیم و این بدان معنی است که برهانی برای A و برهانی برای B ارائه نماییم.همین طور AvB درست است، هرگاه بتوانیم برهانی برای آن ارائه دهیم و این به معنی آن است که برهانی برای A یا برهانی برای B ارائه کنیم.همچنین برهان برای ترکیب شرطی ]B A عبارتست از ساختمانی که هر برهان برای A را به برهانی برای B تبدیل می کند.

در منطق شهودگرایی، تناقض هیچ برهانی ندارد و هر برهان برای نقیض یک گزاره یعنی ~A ساختمانی است که هر برهان فرضی برای A را به برهانی برای یک تناقض تبدیل می کند.از این رو Av~A از نظر ساختی معتبر نیست.البته باید توجه کرد که گرچه اصل طرد شق ثالث معتبر نیست، اما این بدان معنی نیست که (Av~A)~ درست است.صورت های دیگر این اصل، مثل ~~A]A نیز در منطق شهودگرایی معتبر نیستند.بنابراین «برهان خلف» به معنی کلاسیک آن در منطق شهودگرایی معتبر نیست، زیرا در برهان خلف، استنتاج به این شکل است که وقتی می خواهیم حکم A را ثابت کنیم، فرض می کنیم چنین نباشد یعنی ~A بعد به تناقض می رسیم.در منطق کلاسیک در این مرحله A را نتیجه می گیریم، اما آنچه که می توانیم بگوییم ~~A است و چون ~~A]A اصلی معتبر نیست، نمی توانیم A را نتیجه بگیریم.براور نشان داد که برای هر حکم A در منطق شهودگرایی داریم: ~A~~~A بنابراین برهان خلف برای احکامی که به صورت نقیض هستند، یعنی می توان آنها را به شکل ~A نشان داد، معتبر است.

از نظر معناشناسی نیز بین منطق شهودگرایی و منطق کلاسیک فرقی اساسی وجود دارد.برخلاف منطق کلاسیک که معناشناسی آن مبتنی بر جهانی ثابت از اشیا است، جهان معناشناسی منطق شهودگرایی متغیر است.این تغییر هم در اشیا و هم در امور واقع اتفاق می افتد.معناشناسی های مختلفی برای بیان جهان متغیر از اشیا ارائه شده است که از میان آنها می توان به معناشناسی کریپکی و جبیرهیتینگ اشاره نمود.

● جمعبندی

همانطور که ملاحظه شد، پیامدهای ریاضیات شهودگرایی جنبه انقلابی دارند.پافشاری بر روش های ساختی به تصوری از وجود در ریاضیات منجر می شود که آن چیزی نیست که همه ریاضیدانان بدان اعتقاد داشته باشند.برای شهودگرایان، هستی که اثبات وجود آن لازم است، باید در تعدادی مراحل متناهی ساختنی باشد، کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقض شود.این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی ای که در ریاضیات کنونی دیده می شوند، برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.

از پیامدهای دیگر روش ساختی، نظریه مجموعه ها است.از نظر شهودگرایان، یک مجموعه را نمی توان به عنوان گردایه ساخته و پرداخته ای تصور کرد، بلکه باید آن را به عنوان قانونی تلقی کرد که به کمک آن عناصر مجموعه را بتوان به یک روال قدم به قدم بنا کرد.این مفهوم مجموعه امکان وجود مجموعه های تناقض آمیزی مانند «مجموعه همه مجموعه ها» را رد می کند.

در حال حاضر شهودگرایان در بازسازی قسمت های مهمی از ریاضیات کنونی، منجمله یک نظریه پیوستار و یک نظریه مجموعه ها توفیق یافته اند، ولی هنوز راه زیادی در پیش است.اما باید توجه کرد که از زمان پیدایش کامپیوترها و زبان های برنامه نویسی مجرد، می دانیم که ساختن هایی از نوع روش ساختی ریاضیات شهودگرایی بازی بیهوده ای نیستند.آنها در قلب ریاضیات هستند.

غلامحسین مقدم حیدری‎

پژوهشگر پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی