بدون شک اکثر ضربه‌هاى مورب بين دو جسم در ورزش وقتى اتفاق مى‌افتد که هر دو جسم در حال حرکت هستند و يا مانعى براى حرکت آنها وجود ندارد. تمامى حالت‌هاى مختلف در ضربه‌هاى با دست، پا و يا سر به توپ از اين جمله هستند.


براى اينکه مشخص کنيم چه اتفاقى در اين‌گونه حالات رخ مى‌دهد لازم است از معادلهٔ مربوط به ضريب ارتجاع همراه با اصل بقاء اندازهٔ حرکت و مفاهيم اصلى مثلثات استفاده کنيم. نتايج نهايى محاسبات جبري، به دو معادله که يکى در رابطه با سرعت و ديگرى مربوط به جهت حرکت جسم پس از برخورد است منجر مى‌شود. در شکل زير توپ و چوب بيسبال را در حالى که ضربهٔ موربى بر آن وارد مى‌شود ملاحظه مى‌کنيد. بردارهاى U1 و U2 به ترتيب نمايندهٔ سرعت‌هاى توپ و چوب مى‌باشند. هرگاه زاويهٔ حادهٔ بين اين دو بردار برابر با a و جرم‌هاى توپ و چوب به ترتيب برابر با m1 و m2 و ضريب برگشت به وضع اوليهٔ آن دو برابر با e باشد سرعت و جهت توپ پس از برخورد با چوب به‌وسيلهٔ دو معادلهٔ طولانى زير به‌دست مى‌آيد:


V1=√([(m2U2(1+e)+U1 cos α (em2-m1))/m1+m2]2 + (U1 sin α)2)


β1=arctan[(U1 sin α)(m1+m2)/(m2U2(1+r)+U1 cos α (em2-m1))]


بايد متذکر شد که به منظور ساده شدن قضيه در معادلات فوق فرض شده است که اولاً در موقع برخورد دو جسم هيچ‌گونه اصطکاکى وجود نداشته باشد و در ثانى سرعت آن قسمت از چوب که با توپ برخورد مى‌کند يعنى U2 در جهت طبيعى خود عمل مى‌کند.


ضربهٔ مورب بين دو جسم در حال حرکت.
ضربهٔ مورب بين دو جسم در حال حرکت.

معادلات فوق کمک مى‌کند تا افراد علاقمند بتوانند با دقت آنچه در وضعيت خاص اتفاق مى‌افتد تجزيه و تحليل کنند. به‌طور مثال فرض کنيد شخصى بخواهد وضعيت ضربه زدن به چوب و توپ بيسبال را تحليل کند. ابتدا بايد يک دسته ارزش‌هاى عددى را براى هريک از شش متغير درگير در اين امر انتخاب نمايد، سپس پنج متغير را ثابت نگه داشته، ارزش عددى متغير ششمى را عوض کند و با ادامهٔ اين روش سرعت و جهت پرواز توپ را بعد از اصابت با چوب براى هريک از متغيرهاى تعويض شده محاسبه کند. به‌عبارت ديگر مى‌توان گفت اگر تمام شرايط ديگر ثابت باشد، چنين تغييرى در افزايش و يا کاهش ارزش عددى يکى از متغيرهاى ششگانه چه اتفاقاتى را به بار مى‌آورد. خلاصه‌اى از آنچه در نتيجهٔ اين تجربه به‌دست مى‌آيد در جدول زير مشاهده مى‌شود: ارزش‌هاى عددى اوليه که براى متغيرهاى ششگانه در اين مثال انتخاب شده است به شرح زير مى‌باشند:


کيلوگرم ۱۵/۰=m1


کيلوگرم ۸۵/۰=m2


متر بر ثانيه ۳۵=U2


متر بر ثانيه ۱۵=U2


۰/۵=e


۳۰=a


نتايج به‌ دست آمده در جدول دقيقاً نشان مى‌دهند که در تحت چنين شرايطى چه اتفاقاتى رخ مى‌دهند. به‌طور مثال اين جدول به ما نشان مى‌دهد در صورتى که عوامل و شرايط ديگر مساوى باشند سرعت توپ را پس از اصابت با چوب مى‌توان به‌وسيلهٔ استفاده از روش‌هاى زير افزايش داد:


- افزايش جرم و وزن چوب


- کاهش جرم و وزن چوب


- افزايش سرعت اوليهٔ چوب


- افزايش سرعت اوليهٔ توپ


- افزايش زاويهٔ برخورد


- افزايش ضريب ارتجاع


اين نتايج براى بازيکن بيسبالى که بخواهد قابليت خود را در امر ضربه زدن به توپ بهبود بخشد بسيار مفيد است و مى‌تواند مورد استفادۀ او قرار گيرد. اطلاعات در اين جدول، به بازيکن نشان مى‌دهد که براى اين منظور او بايد از چوبى که داراى جرم بيشتر باشد براى زدن توپ استفاده کند و توپ‌هايى که با سرعت بيشتر براى او فرستاده مى‌شود انتخاب کرده، و به آنها ضربه بزند. علاوه بر اين بازيکن بايد چوب خود را با شدت بيشترى تاب دهد به‌طورى که در لحظهٔ برخورد با توپ داراى سرعت بيشترى باشد.

جدول سرعت و زاویه انعکاس یک بازی بیس بال دراثر ضربه مایل با چوب

Angle of Reflection
(degrees)
Speed of Bull
after Impact
(fps)
Angle of Reflection
(degrees)
۳۶/۶۰ ۱۰۰/۶۳ (۲۰) ۰/۰۳۹
(Mass of bat (slugs
weight in ounces in)
(parentheses
۳۴/۱۴ ۱۰۶/۹۱ (۲۵) ۰/۰۴۹
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ (۳۰) ۰/۰۵۸
۳۱/۴۵ ۱۱۵/۰۰ (۳۵) ۰/۰۶۸
۳۰/۶۴ ۱۱۷/۷۴ (۴۰) ۰/۰۷۸
۲۹/۵۲ ۱۲۱/۷۸ (۳) ۰/۰۰۶
(Mass of bat (slugs
weight in ounces in)
(parentheses
۳۱/۰۱ ۱۱۶/۴۵ (۴) ۰/۰۰۸
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ (۵) ۰/۰۱۰
۳۴/۱۴ ۱۰۶/۹۱ (۶) ۰/۰۱۲
۳۵/۷۷ ۱۰۲/۶۵ (۷) ۰/۰۱۴
۴۱/۳۱ ۹۰/۸۹ ۳۰ (Velocity of bat (fps
۳۶/۴۹ ۱۰۰/۹۰ ۴۰
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ ۵۰
۲۹/۳۲ ۱۲۲/۵۳ ۶۰
۲۶/۶۲ ۱۳۳/۸۹ ۷۰
۲۰/۷۶ ۸۴/۶۳ ۶۰ (Velocity of ball (fps
۲۷/۴۷ ۹۷/۵۶ ۹۰
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ ۱۲۰
۳۶/۴۹ ۱۲۶/۱۳ ۱۵۰
۳۹/۵۹ ۱۴۱/۲۲ ۱۸۰
۰/۰۰ ۹۸/۵۷ ۰
Angle of incidence)
(degrees
۱۲/۰۰ ۱۰۰/۲۴ ۱۰
۲۳/۰۴ ۱۰۴/۸۷ ۲۰
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ ۳۰
۴۰/۴۲ ۱۱۸/۹۵ ۴۰
۴۶/۸۰ ۱۲۶/۱۱ ۵۰
۵۱/۹۲ ۱۳۲/۰۳ ۶۰
۴۱/۵۹ ۹۰/۳۸ ۰/۳
Coefficient of
restitution
۳۶/۶۰ ۱۰۰/۶۳ ۰/۴
۳۲/۵۶ ۱۱۱/۵۰ ۰/۵
۲۹/۲۴ ۱۲۲/۸۳ ۰/۶
۲۶/۵۰ ۱۳۴/۴۹ ۰/۷


يادآورى:

در اينجا چنين فرض شده است که جرم و وزن توپ و ضريب برگشت به وضع اوليهٔ آن خارج از کنترل بازيکن مى‌باشد و بنابراين براى او نمى‌تواند اهميت اجرائى داشته باشد. علاوه بر اين موضوع افزايش سرعت توپ توسط تأخير کردن در تاب دادن چوب و در نتيجه افزايش زاويهٔ برخورد نسبتاً کمتر توصيه مى‌شود، زيرا تأخير در تاب دادن چوب موجب کاهش سرعت آن شده و با وجود اينکه زاويهٔ برخورد افزايش پيدا مى‌کند اثرش آنقدر نيست که بتواند اين نکته يعنى کاهش سرعت چوب را جبران کند و حتى در موارد خاص که بازيکن از سرعت خارق‌العاده‌اى در تاب دادن چوب برخوردار است با افزايش زاويهٔ برخورد زاويهٔ برگشت توپ نيز زياد مى‌شود و احتمال اينکه توپ در انتهاى پرواز خود وارد منطقه‌اى خارج از بازى بشود افزايش مى‌يابد.