معرفی مختصری بر تحلیل توپولوژیک داده ها

شکل داده ها

وقتی از توپولوژی دان سوال می شود:« چگونه یک شی چهار بعدی را در ذهن خود مجسم می کنید؟» پاسخ مناسبی که می تواند بدهد، یک پاسخ سقراطی است:« شما چگونه یک شی سه بعدی را در ذهن خود مجسم می کنید؟» ما اشیا را در فضای سه بعدی مستقیما نمی بینیم بلکه آنها را از طریق ترکیب یک سلسله تصویر مسطح به گونه ای حس می کنیم. بخش قابل توجهی از اولین سال زندگی ما صرف آموختن این امر می شود که چگونه داده های فضایی سه بعدی را از تصویر مسطح جفت و جور شده استنتاج کنیم. سالها ممارست، توانایی چشمگیری برای استخراج ساختار کلی از تصاویری در بعد پایین تر پدید آورده است.
استنتاج ساختار کلی از طریق تبدیل داده های گسسته به تصاویر پیوسته، در مقیاسهای بسیار ظریف تری هم انجام می پذیرد. چاپگرهای سوزنی، تابلوهای تبلیغاتی LED، تلویزیون، و نمایشگر رایانه ها، همگی تصاویر را از طریق آرایه هایی از نقاط گسسته که در قالب اشیایی کلی و منسجم ترکیب شده اند، انتقال می دهند. این مهارتی است که ما از کودکی آن را تمرین کرده ایم.

تحلیل توپولوژیک داده ها (TDA) 

مساله های تحلیل داده ها، ویژگیهای مشترک بسیاری با این دو مساله بنیادی ترکیب اشکال دارند:
1. چگونه ساختاری با بعد بالا از نمایشهای بعد پایین استنتاج می شود؟
2. چگونه نقاط گسسته در ساختار کلی گرد می آیند؟
نکات مهم در تحلیل توپولوژیک داده ها
1. به جای مجموعه ای از نقاط داده، خانواده ای از مجتمعهای سادکی را در نظر بگیریم که با یک پارامتر نزدیکی اندیس گذاری شده باشند. این کار مجموعه داده ها را به اشیای توپولوژیک کلی تبدیل می کند.
2. این مجتمعهای توپولوژیک را با عدسی توپولوژی جبری به خصوص از طریق نظریه جدید مانستگی ماندگار، که بر خانواده های پارامتری تطبیق یافته باشد، ببینیم.
3. مانستگی ماندگار مجموعه ای از داده ها را به صورت نسخه پارامتری شده یک عدد بِتی، یعنی کد میله ای بیان کنیم.
نویسنده: رابرت گریست
مترجم: حسن حقیقی مجله نشر ریاضی (شماره 34) 
منبع: سایت خشایار رحیمی .