یکی از زیباترین استدلالهایی که ریاضی دانان یونان پس از شناخت رابطه فیثاغورث و آشنایی با مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور به وتر آن بطول ۱ بود انجام داده اند آن است که “رادیکال دو” (۲√) یا همان ریشه دوم عدد ۲ نمی تواند یک عدد گویا باشد.
استدلال آنها بسیار ساده بود در نظر می گیریم که ریشه دوم عدد ۲ بصورت یک کسر گویا (۲√=a/b) بیان شود. همچنین فرض می کنیم که a/b کسر ساده شده می باشد و صورت و مخرج مقسوم علیه م
یکی از زیباترین استدلالهایی که ریاضی دانان یونان پس از شناخت رابطه فیثاغورث و آشنایی با مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور به وتر آن بطول ۱ بود انجام داده اند آن است که “رادیکال دو” (۲√) یا همان ریشه دوم عدد ۲ نمی تواند یک عدد گویا باشد.
استدلال آنها بسیار ساده بود در نظر می گیریم که ریشه دوم عدد ۲ بصورت یک کسر گویا (۲√=a/b) بیان شود. همچنین فرض می کنیم که a/b کسر ساده شده می باشد و صورت و مخرج مقسوم علیه مشترک ندارند. در آنصورت اگر طرفین معادله را در خود ضرب کنیم (یا به توان دو برسانیم) باید داشته باشیم : a۲/b۲=۲
بنابراین خواهیم داشت که : a۲=۲b۲
رابطه اخیر نشان می دهد که a۲ یک عدد زوج می باشد، بسادگی می توان نتیجه گرفت که a نیز باید عدد زوج باشد (چرا؟) ، بنابراین اگر a را بصورت ۲t نمایش دهیم خواهیم داشت : ۴t۲=۲b۲
اگر معادله بالا را ساده کنیم خواهیم داشت که : b۲=۲t۲
یعنی b هم یک عدد زوج می باشد(چرا؟) ، بنابراین a و b هر دو مقسوم علیه مشترکی مساوی ۲ دارند و این مخالف فرضی است که در ابتدا انجام دادیم. بنابراین نمی توان عدد رادیکال دو را بصورت یک کسر گویا نمایش داد.
شترک ندارند. در آنصورت اگر طرفین معادله را در خود ضرب کنیم (یا به توان دو برسانیم) باید داشته باشیم : a۲/b۲=۲
بنابراین خواهیم داشت که : a۲=۲b۲
رابطه اخیر نشان می دهد که a۲ یک عدد زوج می باشد، بسادگی می توان نتیجه گرفت که a نیز باید عدد زوج باشد (چرا؟) ، بنابراین اگر a را بصورت ۲t نمایش دهیم خواهیم داشت : ۴t۲=۲b۲
اگر معادله بالا را ساده کنیم خواهیم داشت که : b۲=۲t۲
یعنی b هم یک عدد زوج می باشد(چرا؟) ، بنابراین a و b هر دو مقسوم علیه مشترکی مساوی ۲ دارند و این مخالف فرضی است که در ابتدا انجام دادیم. بنابراین نمی توان عدد رادیکال دو را بصورت یک کسر گویا نمایش داد.