در سال ۱۹۵۹، پياژه و همکار او باربل اين هلدر کتاب کاملى را به طبقه‌بندى کردن و ترتيب دادن اختصاص دادند (مراجع متعدد ديگرى نيز در کارهاى قبلى پياژه در اين مورد وجود دارند.) آنها دريافتند که توانائى کودک براى طبقه‌بندى کردن، در طول ۳ مرحله گسترش مى‌يابد.


اگر از يک کودک سه سالهٔ معمولى خواسته شود تمام مکعب (Blocks) هاى قرمز را کنار هم بگذارد، او به‌طور موقت و نيمه کامل مطلب را درک کرده و کار خود را با قرار دادن مکعب‌هاى قرمز کنار هم آغاز مى‌کند. سپس مطلب را فراموش کرده و در حالى که از تمام رنگ‌هاى موجود استفاده مى‌کند، به ساختن چيز ديگرى مانند ساختمان يا کاميون مى‌پردازد. تجارب زيادى لازم است تا کودک بتواند شباهت‌هاى اشياء را درک کرده و آنها را براساس يکى از عوامل شباهت، کنار هم قرار دهد.


وقتى کودک به مرحلهٔ دوم برسد، قادر خواهد بود تمام مکعب‌هاى قرمز را در يک جا و مکعب‌هاى غيرقرمز را در جاى ديگر جمع نمايد. در اين‌جا به‌نظر مى‌رسد که توانائى طبقه‌بندى کردن تمام مفاهيمى که داراى خواص مشترکى باشند، براى وى ابهام به‌وجود مى‌آورند.


به‌طور مثال در يکى از آزمايش‌هاى پياژه ۲ مربع قرمز، ۲ مربع آبى و ۵ دايرهٔ آبى وجود داشت. اين اشياء مى‌توانند از نظر رنگ و از نظر شکل طبقه‌بندى بشوند. اين کار مشکل نيست چون کودک در مرحلهٔ دوم به هر دو صورت مى‌تواند اين کار را انجام دهد. اشکال کار از اين حقيقت ناشى مى‌شود که به هر طريق که کودک بخواهد عمل طبقه‌بندى را انتخاب کند، پاره‌اى خواص در اشياء وجود دارند که با يکديگر تطابق دارند. اگر طبق شکل طبقه‌بندى نمايد تمام دايره‌ها آبى‌رنگ هستند، اما برخى از مربع‌ها نيز داراى رنگ آبى مى‌باشند. پس خاصيت آبى بودن در هر دو شکل مشترک است.


به سؤال پياژه که آيا تمام اشياء آبى‌رنگ دايره‌شکل هستند، اکثر کودکان جواب صحيح داده و گفتند نه. زيرا در آنجا مربع‌هاى آبى نيز وجود داشتند. اما وقتى سؤال را بدين‌صورت درآورد که آيا تمام دايره‌ها آبى‌رنگ هستند، باز هم کودکان جواب منفى دادند که البته اين جواب‌ها غلط بود، زيرا تمام دايره‌ها آبى‌رنگ بودند.


کودکان در اين سطح درک نمى‌کنند که چگونه در يک زمان کل يک چيز مى‌تواند جزئى از يک چيز ديگر باشد. در مثال فوق، تمام ۵ شيء موردنظر همهٔ شکل‌هاى دايره را شامل بوده ليکن فقط چندتائى از آبى‌ها را در برمى‌گرفتند. تا زمانى که کودکان اين تصور را کاملاً درک نکنند (پياژه معتقد است اين زمان بين ۷ تا ۸ سالگى است)، آنها نمى‌توانند مهارت حقيقى طبقه‌بندى را کسب کنند.


بگذاريد نظر شما را به مطلب مهمى جلب نمايم که سنين مورد تجربهٔ پياژه که براى کشور سوئيس مناسب بود، در اين کشور (آمريکا) نمى‌توانند صادق باشد. بسيارى از محققان آمريکائى معتقد هستند که مهارت طبقه‌بندى و ساير مهارت‌هاى ذهنى به همان اندازه که به سن بستگى دارند، به تجارت کودک در زندگى او مربوط مى‌شوند. اگر کودک به‌طور منظم در معرض تجارب مختلف طبقه‌بندى قرار گرفته باشد، ممکن است که زودتر به اين مرحله‌ها پا بگذارد.


ترتيب دادن، مستلزم قرار دادن اشياء برحسب نظم به‌خصوصى مى‌باشد. از آنجائى که اين مفهوم بر اساس مقايسه به‌وجود مى‌آيد، لذا براى کودکان مشکل‌تر از طبقه‌بندى کردن مى‌باشد. علت اين است که در مورد طبقه‌بندي، کودک بايد تصميم بگيرد که آيا شيء خاصيت معينى را دارد يا نه؟ مثلاً آيا قرمز است يا خير؟


در يک آزمايش جالب توجه پياژه دو رشتهٔ ريسمان تهيه کرد و از کودک خواست تا لباس‌هاى معيني، از سرى لباس‌هاى عروسک‌ها را روى آن آويزان کند (مانند شلوار، پيراهن و غيره). سپس از کودک خواست تا از ميان انبوه لباس‌هائى که در طرف ديگر اتاق ريخته بود، لباسى را که به هر کدام از لباس‌هاى آويزان شده روى بند شباهت داشت، انتخاب کرده و روى بند ديگرى به همان ترتيب آويزان نمايد.


کودکان زير سه ساله اصلاً قادر به اين کار نبودند. سه‌ساله‌ها و سه سال و نيمه‌ها توانستند تکه‌هاى لباس را باهم تطبيق دهند (پيراهن در برابر پيراهن - شلوار در برابر شلوار و غيره) اما نتوانستند آنها را به همان نظم روى بند ديگر قرار دهند. علاوه بر اين، آنها هيچ تفاوتى بين ريسمان اولى و ريسمان خود قائل نمى‌شدند. آنها به‌طور ساده تصوّر نظم ثابت (Fixed order) را نمى‌فهميدند. کودکان کمى بزرگتر اختلاف بين دو ريسمان را متوجه شدند و سعى کردند که کار خود را تصحيح کنند، ليکن در اين کار کاملاً موفق نشدند.


معمولى‌ترين تکليف (Task) در ترتيب دادن اشياء، گروه‌بندى کردن آنها است بر اساس نظم معينى مانند اندازه، پياژه ۱۰ عروسک را که از نظر قد متفاوت و از نظر ساير خواص يکسان بودند، انتخاب کرد. او متوجه شد که در کودک رشد اين مهارت نيز مانند مفهوم طبقه‌بندى کردن، از طريق سه مرحله به‌دست مى‌آيد.


کودکان کمتر از ۵ سال موفق شدند فقط قسمت‌هائى از يک سرى را درست کنند به‌طورى‌که جفت‌هائى را جدا از يکديگر در آنجا قرار دادند. کودکان ۵ ساله و ۶ ساله موفق شدند از طريق آزمايش و خطا، سرى را مرتب کنند. بدين‌صورت که عروسکى را به‌طور تصادفى به‌دست گرفته و با عروسک‌هاى ديگر مقايسه نموده و محل هر يک را در سرى پيدا مى‌کردند. در بين کودکان نزديک ۷ سال روش تازه‌اى پديدار شد. آنها اول بلندترين و يا کوتاهترين عروسک را انتخاب کرده و براى منظم کردن سري، از آن شروع کردند.


کليد ترتيب دادن، در دانستن اين نکته نهفته است که اگر عروسک (الف) از عروسک (ب) بلندتر و عروسک (ب) از عروسک (ج) بلندتر است، پس عروسک (الف) از عروسک (ج) بلندتر است (استدلال منطقي). کودکان کوچک در ابتدا اين مطلب را درک نمى‌کنند. آنها به‌طور صحيح عروسک (الف) را با عروسک (ب) و عروسک (ب) را با عروسک (ج) مقايسه مى‌کنند، ليکن قادر نيستند اين دو حقيقت را به‌هم متصل سازند. مرتب کردن يک سرى کامل تا زمانى که اين مفهوم منطقى در مغز آنها رشد نکرده است، از قدرت آنها خارج است.


بعضى از کودکان مجذوب مقايسه کردن اشياء مى‌شوند. حرف‌هاى کودکى را دربارهٔ دو پارچ آب که در روى ميزى قرار داشتند، به‌طور تصادفى مى‌شنيدم. او با خودش صحبت مى‌کرد. در حالى که به يک يک پارچ‌ها اشاره مى‌کرد، مى‌گفت: ”اين يکى بزرگتر است، آن يکى کوچکتر است“. سپس به عکس دفعهٔ قبل مى‌گفت ”اين يکى کوچکتر است، آن يکى بزرگتر است“. بالاخره اين مقايسهٔ او ادامه پيدا کرد و به هر يک از پارچ‌ها اصطلاحات به‌خصوصى اطلاق مى‌کرد.


علاوه بر طبقه‌بندى کردن و ترتيب دادن، تصور پيش عدد نيز اهميت دارد و آن عبارت است از انطباق يک به يک اشياء (One-to-one correspondance) دو گروه که تساوى تعداد اشياء را بدون احتياج به شمارش آنها تضمين مى‌کند. قبل از پرورش اين مفهوم، تصور کودک از عدد و کميّت به‌صورت تصور مبهمى از مقدار، به‌هم آميخته است.


تعدادى دکمهٔ بزرگ يا در بطرى را روى ميز به‌صورت يک خط بچينيد و از کودک بخواهيد که خط مشابه ديگرى از همان تعداد دکمه درست کند. کودکان کوچکتر دکمه‌ها را طورى مى‌چينند که انتهاء هر دو رديف در يک خط قرار گرفته ولى به سبب تراکم يا گسترش بيشتر، دکمه‌هاى بيشتر يا کمترى را در بر دارند.


آنها اعتقاد دارند که اگر طول رديف يا خط‌هاى درست شده برابر باشند، تعداد دکمه‌ها نيز در هر رديف برابر خواهند بود. به‌طور متوسط در سنين ۵ تا ۶ سالگى کودک احتمالاً روش ”يکى مال تو و يکى مال من“ را در نظر گرفته و رديف خود را با قرار دادن يک دکمه در مقابل دکمه‌هاى رديف ديگر، درست خواهد کرد.


اگر وابستگى طبيعى بين اشياء چيده شده در دو رديف وجود داشته باشد (مثلاً رديف اول فنجان و رديف دوم نعلبکى باشد)، در آن‌صورت کودک در سن زودترى از روش انطباق يکى با يکي، استفاده خواهد کرد تا اينکه هر دو رديف اشياء مختلفى را در برداشته باشند. روانشناسان اين انطباق را انطباق سببى (Provoked correspondance) مى‌نامند.


تا زمانى که اشياء دو رديف يکى با يکى انطباق داشته باشند، کودک اطمينان دارد که هر دو رديف تعداد مساوى از شيء موردنظر را در بر دارند. ليکن به محض اينکه يک رديف را گسترده‌تر و يا متراکم‌تر کنند، اين اعتقاد و اطمينان از او سلب مى‌شود. کودک مى‌تواند انطباق يک به يک اشياء را قبل از آنکه شکل ظاهرى آنها دچار تغيير شود، زودتر درک کند. تا زمانى که کودک از ابقاء ذهنى عدد که به‌نظر پياژه در حدود شش و نيم تا هفت سالگى رخ مى‌دهد، برخوردار نشود، او نمى‌تواند مفهوم اصلى عدد را درک نمايد - يعنى قادر نيست بدون در نظر گرفتن شکل ظاهرى اشياء، تعداد متساوى آنها را در هر دو گروه، تشخيص دهد.


عددشمارى (Counting) براى تعيين تساوى اشياء دو گروه در مورد کودکانى که به مرحلهٔ ابقاء عدد نرسيده‌اند، کمک بسيار کمى است. در آزمايشى که توسط پياژه و همکار او انجام گرديد مشاهده شد که کودک هر دو رديف را شمرده و به نتيجهٔ ۷ مى‌رسد، ليکن با وجود آن فکر مى‌کند رديفى که به‌علت گستردگى اشياء طول بيشترى دارد، تعداد بيشترى را نيز شامل است. هفت براى اين نوع کودکان فقط يک اسم به‌شمار مى‌رود. اين اسم چنين تصوّرى را در بر ندارد که چون هر دو رديف ۷ ناميده مى‌شوند، پس تعداد هر دو رديف منطقاً مساوى هستند.


اجازه ندهيد توانائى کودک در عددشماري، شما را به اين اشتباه بيندازد که اعداد همان معنى را که در ذهن شما مجسم مى‌کنند در ذهن او نيز مجسم مى‌کنند. کودکان مقلّدين بزرگى هستند. آنها بدون اينکه بخواهند هر آنچه ما مى‌کنيم، انجام مى‌دهند. من مى‌گويم حفظ کردن اسمى اعداد همان نسبتى را با رياضيات دارد که حفظ کردن الفبا براى خواند.


در صورتى‌که به کودکى که هنوز مفاهيم پيش‌عدد را در ذهن خود نپرورانده است، حساب کردن را تحميل کنيم، او صرفاً مطالب را حفظ کرده و دشوارى‌هائى را در اين مورد براى آينده به‌وجود خواهد آورد. کودک ممکن است قبل از ياد گرفتن هرگونه علامتي، اقدام به يادگيرى علائم رياضى نمايد. بسيارى از دانش‌آموزان کلاس اول تمرين‌هاى کتاب خود را بدون اينکه بفهمند تکميل مى‌کنند. اين امر منتهى به تنفر و ترس از رياضى مى‌شود که معمولاً بين سنين ۶ تا ۸ سالگى به‌وجود مى‌آيد.


رشد توانائى‌هاى کودک براى تفکر و يادگيرى در الگوهاى منطقي، از طريق تجربه کودک با اشياء واقعى حاصل مى‌شود. اين نکته احتياج به تأکيد بيشتر ندارد که تجربه کردن و با دست کار کردن داراى اهميت بيشترى است.


کودکان فهم و درک را از طريق فعاليت خود با اشياء گوناگون کسب مى‌کنند، نه از طريق خود اشياء و يا چيزهائى که راجع به اشياء به آنها گفته مى‌شود.


اگر کودکان موادى داشته باشند که براى آنها قابل درک و فهم باشند، در آن‌صورت شايستگى منطقى در سطح بالا را نيز خواهند داشت.