شاخص ضريب جينى

متداول‌ترين شاخص نابرابرى درآمد شاخص ضريب جينى است. از سه ديدگاه مى‌توان اين شاخص را بررسى نمود.

ديدگاه آمارى

اين ديدگاه مى‌گويد ضريب جينى عبارت است از نسبت اندازه نابرابرى توزيع درآمد مورد بررسى به حداکثر اندازه نابرابرى درآمدى ممکن در يک توزيع درآمد کاملاً ناعادلانه.

ديدگاه ترسيمى

اين ديدگاه مى‌گويد ضريب جينى عبارت است از نسبت مساحت منطقه تمرکز درآمدى (سطح بين منحنى لورنز توزيع درآمد مورد بررسى و خط برابرى کامل توزيع درآمد) به مساحت زير خط برابرى کامل توزيع درآمد. بنابراين، اندازه ضريب جينى يک الگوى توزيع درآمد، مساوى دو برابر مساحت منطقه تمرکز درآمدى آن توزيع است.

ديدگاه روانى

اين ديدگاه مى‌گويد، هر فرد جامعه مورد بررسى در مقايسه درآمد خود با درآمد هر يک از افراد ديگر جامعه، هنگامى‌که متوجه شود که در مقايسه با ديگران، درآمد کمترى دارد، دچار تأثر و افسردگى مى‌شود. حال اگر ميزان و اندازه اين تأثر و افسردگى متناسب با تفاوت اين درآمدها از يکديگر در نظر گرفته شود، ضريب جينى عبارت است از ميانگين مجموع کليه اين تأثرات و افسردگى‌ها براى تمامى جفت درآمدهاى ممکن مربوط به همه افراد جامعه.


و به‌طور کلى مى‌توان گفت ضريب جينى عبارت است از نسبت متوسط مجموع قدر مطلق تفاوت بين کليه جفت درآمدها به حداکثر اندازه ممکن اين تفاوت.


به اين ترتيب ضريب جينى (G) براى توزيع درآمد ناپيوسته عبارت خواهد بود از:


G =   = ۱ × n
i=1
n
i=1
|xi - xj|
۲μ ۲μ n۲


G =  ۱ -  ۱    n
i=1
n
i=1
min(xi  - xj)
n۲μ


G = ۱ + ۱  -  ۲    [nx۱ + (n-۱)x۲ + (n-۲)x۳ +...+ xn
n n۲μ


اگر درآمد هر فرد جامعه متغير تصادفى پيوسته باشد، ضريب جينى عبارت است از:


G =  =  ۱
o
o
|x-y| f(x) f(y) dx dy
۲μ ۲μ


G = ۱
o
o
|x-y| DF(x) DF(y) dx dy
۲μ


G = ۱
 ∫
o
[
o
(x-y) f(y)dy +
o
(y-x) f(y)dy  ] f(x)dx
۲μ


G = ۱
 ∫
o
[
 
xF(x) - μF۱(x) ]  f(x)dx
 
 
μ


G = ۱ -  ۲
 ∫
o
F۱(x) f(x)dx


G =  ۲
 ∫
o
[F(x) - F۱ (X)]dF(x)


G =  ۲
 ∫
o
[P - L(P) ]dp


همچنين بر مبناى تعريف منحنى تمرکز و ضريب تمرکز و رابطه آن با منحنى لورنز و ضريب جيني، اين شاخص به‌صورت زير نيز قابل بيان است:


G = ۲  
 Cov [x , ۲(x) ]
 


اندازه ضريب جينى بين صفر (در حالت برابرى کامل توزيع درآمد) و يک (در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد) تغيير مى‌کند. در حالت برابرى کامل، کليه درآمدها با يکديگر برابر است. بنابراين:


C = ۱ n
i=1
n
 ∑ |μ-μ|
i=1
 n۲μ


C =    0
 ۲ n۲μ


C = 0


و در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد، کليه درآمدها به‌استثناء آخرين درآمد مساوى صفر و آخرين درآمد مساوى nμ است. بنابراين:


G = ۱ n
i=1
n
∑  |xi - xj |
i=1
۲n۲μ


G = ۱ + ۱     - ۲ { (nxi) + [(n-۱)x۲ ]  + ... + xn }  
n n۲μ


G = ۱ + ۱    -  ۲ { (nx0)  +  [(n-۱)x0] +  [(n-۲)x0] ... + xμ }  
n n۲μ


G = ۱ + ۱   -  ۲
n n


G =   n-۱
  n


که اگر n به اندازه کافى بزرگ باشد، اندازه ضريب جينى به سمت يک ميل مى‌کند و ويژگى محدوديت دامنه تغييرات اندازه شاخص نابرابرى را تأمين مى‌کند.

شاخص ضريب طول منحنى لورنز

اين شاخص توسط کاکوانى ارائه شده است و از طريق اندازه طول منحنى لورنز توزيع درآمد مورد بررسى به اندازه‌گيرى ميزان نابرابرى درآمد آن مى‌پردازد.


در صورتى‌که طول منحنى لورنز با L نشان داده شود. اگر تمام درآمد جامعه به‌طور مساوى و کاملاً برابر بين افراد آن جامعه توزيع‌شده باشد، منحنى لورنز بر خط برابرى کامل توزيع درآمد (OB) منطبق گرديده و طول آن ۲√ خواهد بود. از طرف ديگر، در يک توزيع درآمد کاملاً غيرعادلانه، که کليه درآمد جامعه تنها به يکى از افراد آن تعلق گرفته و ديگران هيچ سهمى از آن نداشته باشند، منحنى لورنز بر خط شکسته OAB منطبق گرديده و طول آن معادل ۲ خواهد بود.


بنابراين، اندازه طول منحنى لورنز در دامنه تغييرات بين ۲√ و ۲ تغيير مى‌کند (2≥ L ≥ √2) ضريب طول منحنى لورنز (L) به مثابه شاخص نابرابرى درآمد به‌صورت نسبت اختلاف و تفاوت طول منحنى لورنز توزيع مورد بررسى و توزيع کاملاً عادلانه و برابر درآمدها به حداکثر اندازه اين تفاوت يعنى (۲√ ـ ۲) تعريف شده است:


I = L  -  √۲
۲  -  √۲


با در نظر گرفتن اينکه طول منحنى لورنز در بين هر دو نقطه عبارت است از:


AB  =  { ∆ (P)۲  +  [ ∆L(P)۲ ] } ۱/۲


بنابراين، اگر تمام اندازه‌هاى طول منحنى لورنز در بين دو نقطه BA آن، در دامنه تغييرات (۱ ≥P ≥ ۰ ) با يکديگر جمع شوند، طول منحنى لورنز توزيع درآمد (يعنى L) به‌دست خواهد آمد:


L =   ۱  [  ۱
 ∫
o
(۱ +  [
dL(P)

dp
  ]۲) × dp -√۲]
۲ - √۲


L =    ۱ [ ۱/μ ۱
o
√(μ۲ + x۲) f(x)dx - √۲]
۲ - √۲


در صورتى‌که درآمد افراد جامعه متغير تصادفى ناپيوسته باشد شاخص طول منحنى لورنز از رابطه زير برآورد مى‌شود:


L =    ۱  [ ۱/nμ  n
∑   (x۲+ μ۲)۱/۲
i=1
-   √۲]
۲  -  √۲


ويژگى‌هاى که اين شاخص دارد اولاً اينکه نسبت به انتقال درآمد در کليه سطوح درآمدى داراى حساسيت است، ثانياً به تأمين اصل انتقال نزولي، نسبت به انتقالات درآمدى در سطح پائين درآمد جامعه حساس‌تر است. بنابراين براى کاربردهائى چون اندازه‌گيرى شدت نابرابري، در مقايسه با ضريب جيني، در مرتبه ارجح‌ترى قرار مى‌گيرد.

شاخص تايل

اين شاخص بر پايه مفهوم آنتروپى استوار است. و به‌صورت تفاضل آنتروپى مربوط به توزيع درآمد مورد بررسى از آنتروپى مربوط به توزيع درآمد کاملاً عادلانه (که هميشه مساوى logn است) تعريف مى‌شود. بنابراين، اين شاخص عبارت خواهد بود از:


T = log n - H =  log n - n
∑ qi log (۱/qi )
i=1


T = n
i=1
 q(logn + log qi )  = n
∑ qi  lognqi
i=1


T = n
i=1
 q log (qi/pi)  =  ۱/n n
∑  (xi/x)  log (xi/x)
i=1


در صورتى‌که درآمد افراد جامعه متغير تصادفى پيوسته در نظر گرفته شود. رابطه فوق به‌صورت زير خواهد بود:


T = ۱/μ
o
x log x f(x)  -   logμ


اندازه اين شاخص بين صفر (در حالت برابرى کامل توزيع درآمد) و Logn (در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد) تغيير مى‌کند.