شاخص‌هاى نابرابرى چندک‌ها

چندک‌هائى که بيشتر براى توزيع درآمد مورد استفاده قرار مى‌گيرند عبارت‌اند از:


۱. دهک‌ها (هر دهک شامل ده درصد افراد جامعه است)


۲. پنجک‌ها (هر پنجک شامل بيست درصد افراد جامعه است)


۳. چارک‌ها (هر چارک شامل بيست و پنج درصد افراد جامعه است)


ضمناً در غالب بررسى‌هاى توزيع درآمد از حالت ادغام‌شده و گسترده چندک‌ها مثل چهل درصد افراد کم‌درآمد چهل درصد افراد داراى درآمد متوسط و بيست درصد افراد پردرآمد نيز استفاده مى‌شود.


در صورتى‌که داده‌هاى آمارى درآمد کليه افراد جامعه در اختيار باشد، با مرتب کردن صعودى افراد جامعه برحسب درآمد، به سادگى مى‌توان چندک موردنظر را برآورد کرد که در اين‌صورت، اولين چندک که شامل فقيرترين افراد جامعه و آخرين چندک دربرگيرنده ثروتمندترين آن افراد خواهد بود.


چندک‌ها، هر چند، برداشت‌هاى ساده و قابل درکى از الگوى توزيع درآمد را به‌دست مى‌دهند ولى تنها ميزان نابرابرى درآمدى بين طبقات درآمدى گوناگون را مدنظر قرار مى‌دهند و به نابرابرى درآمدى در داخل اين طبقات هيچ‌گونه توجهى ندارند.

شاخثص نابرابرى ميانگين‌ها

رابطه زير همواره براى نابرابرى ميانگين‌ها برقرار است:


μ > Ge > H


که در آن μ ميانگين حسابى درآمد افراد جامعه، Ge ميانگين هندسى درآمد افراد جامعه و H ميانگين هارمونيک درآمد افراد درآمد است.


از نسبت بين ميانگين هندسى و ميانگين حسابى يک توزيع درآمد و يا نسبت بين ميانگين‌ هارمونيک و ميانگين حسابى توزيع درآمد و يا لگاريتم اين دو نسبت مى‌توان به مثابه شاخص نابرابرى درآمد استفاده کرد. زيرا اندازه ميانگين حسابى توزيع درآمد مورد بررسى همواره مساوى اندازه ميانگين حسابى توزيع درآمد کاملاً عادلانه خواهد بود. در حالى‌که اندازه ميانگين هندسى و هارمونيک توزيع درآمد مورد بررسى به تبع ميزان تفاوت آن با توزيع درآمد کاملاً عادلانه از اندازه ميانگين حسابى آن فاصله مى‌گيرد. بنابراين اندازه نسبت‌هاى فوق‌الذکر مى‌تواند نشان‌دهنده ميزان تفاوت الگوى توزيع درآمد مورد بررسى از الگوى توزيع درآمد کاملاً عادلانه باشد به اين ترتيب:


μ = F۱
Ge
   
μ = F۲
H


*F۲ = log μ
H
 
*F۱ = log μ
Ge


که در آنها F شاخص نابرابرى ميانگين‌ها، μ ميانگين حسابي، Ge ميانگين هندسى و H ميانگين هارمونيک توزيع درآمد است.


در يک توزيع کاملاً عادلانه، چون اندازه هر سه ميانگين مساوى يکديگر است بنابراين اندازه شاخص‌هاى F۱ و F۲ مساوى يک و اندازه شاخص *F۱ و *F۲ مساوى صفر خواهد بود. از سوى ديگر، هر چه درآمد جامعه به‌صورت ناعادلانه‌ترى توزيع شده باشد، فاصله بين ميانگين هندسى و هارمونيک با ميانگين حسابى بيشتر شده و در نتيجه، اندازه کليه شاخص‌هاى گفته‌شده فوق نيز بزرگ‌تر مى‌شود.

شاخص ضريب پراکندگى

در بررسى‌هاى توزيع درآمد مى‌توان از ضريب پراکندگى استفاده نمود که به‌صورت نسبت انحراف معيار به ميانگين درآمد جامعه تعريف مى‌شود. به اين ترتيب ضريب پراکندگى عبارت است از:


C = S/μ = ۱/μ ( n
∑(xi -μ)۲
i=1
/n )۱/۲


که در صورت پيوسته بودن درآمد افراد جامعه از رابطه زير برآورد مى‌شود:


C = S/μ = ۱/μ [
o
(x-μ)۲ f(x)dx]۱/۲ = ۱/μ [
o
(x-μ)۲ df(x)]۱/۲


ضريب پراکندگى شاخص نسبى است، بنابراين نسبت به تغيير تناسب کليه درآمدها هيچ‌گونه حساسيتى نشان نمى‌دهد، مستقل از واحد اندازه‌گيرى است و داراى واحد اندازه‌گيرى نيست.


اندازه ضريب پراکندگى بين صفر (در حالت برابرى کامل توزيع درآمد) و ۱ ـ n√ (در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد) تغيير مى‌کند.


C  = ۱          [ n
∑(μ -μ)۲
i=1
]۱/۲  
√n-μ


C  = ۱  × 0    
√n-μ


C  =   0  


در حالت برابرى کامل توزيع درآمد


در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد، به کل درآمد جامعه (nμ) به يک فرد اختصاص داده شده و بقيه افراد جامعه (۱ ـ n) هيچ‌گونه درآمدى ندارند. از اين‌رو:


        C  = ۱   [ n
  ∑(0 -μ)۲
i=1
+     (nμ - μ)۲ ]۱/۲  
√n-μ


C  = ۱     [(n-۱)μ۲ + (n-۱)۲ μ۲ ]۱/۲  
√n-μ


C  = ۱     [ μ(n-۱) (μ+nμ-μ) ]۱/۲        
√n-μ

C  = ۱     [ nμ۲(n-۱) ]۱/۲        
√n-μ

C  = ۱     (√nμ) (n-۱)۱/۲        
√n-μ

C  = √n-۱  


بنابراين هنگامى‌که تعداد افراد جامعه بيش از دو نفر باشد، اندازه ضريب پراکندگى بيش از ۱ خواهد بود و در حالت خاصى که n بسيار بزرگ باشد، اندازهٔ ضريب پراکندگى به سمت بى‌نهايت ميل خواهد نمود.

شاخص واريانس و انحراف معيار لگاريتم درآمدها

واريانس لگاريتم درآمدها ( SL۲ ) عبارت است از ميانگين حاصل جمع توان دوم انحرافات لگاريتم هر يک از درآمدها از ميانگين حسابى اين لگاريتم درآمدها در کل جامعه بنابراين:


SL۲  =  ۱/n    n
  ∑
i=1  
(logXi - μlogX)۲ ۱/n  n
  ∑
i=1  
(logXi - logGe)      


در صورتى‌که درآمد افراد جامعه، متغير تصادفى پيوسته باشد،واريانس لگاريتم درآمدها عبارت است از:


SL۲  =
o
(logX - logGe)۲ f(x)dx            


براساس تعريف، انحراف معيار لگاريتم درآمد عبارت است از جذر واريانس لگاريتم درآمدها که در بررسى‌هاى توزيع درآمد به مثابه شاخص نابرابرى درآمد به‌کار برده مى‌شود. از اين‌رو:


ơL  = (SL۲)۱/۲   =[ n
 ∑ (logXi - logGe)۲
i=1
]۱/۲            


ơL  = (SL۲)۱/۲   =[
o
(logX - logGe)۲ f(x)dx]۱/۲