شاخص‌هائى که به‌طور مستقيم و صريح از مفاهيم رفاه اجتماعى و قضاوت‌هاى ارزشى مبتنى بر آن استفاده نمى‌کنند و عمدتاً ابزارها و معيارهاى آمارى هستند که براى انداره‌گيرى پراکندگى صنعت مورد مطالعه بين افراد جامعه موردنظر به‌کار گرفته مى‌شوند.

شاخص ضريب موزون

ضريب موزون نابرابرى (I) از جمله شاخص‌هاى نابرابرى موسوم به شاخص‌هاى خطى است که به‌صورت رابطه زير تعريف مى‌شود:


I = ۱ ۱
 ∫
o
[F(P) - μ] W (p)dp
μ


که در آن (W(P تابع تبيين و مستقل از شيب تابع توزيع F است. ضمناً F (P)=X است.

شاخص دامنه تغييرات نسبى (Relative Range)

ساده‌ترين و ابتدائى‌ترين شکل بيان ميزان نابرابرى توزيع درآمد مقايسه حد پائين و حد بالاى درآمد يک جامعه مورد بررسى است. اين شاخص را با R نشان مى‌دهند و تعريف آن به‌صورت زير است:


”نسبت شکاف بين حد بالا و پائين درآمد جامعه مورد بررسى به ميانگين درآمد آن جامعه را دامنه تغييرات نسبى مى‌گويند“.


[maxi x - mini x] 1
μ
= R


μ: ميانگين درآمد جامعه


minXi: حد بالاى درآمد جامعه


mini: حد پائين درآمد جامعه


مهم‌ترين اشکالى که اين شاخص دارد اين است که اولاً چگونگى و نحوه توزيع درآمد بين حد بالا و حد پائين درآمد را مدنظر قرار نمى‌دهد، ثانياً دامنه تغييرات اندازه آن بين صفر (در حالت برابرى کامل توزيع درآمد) و n (در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد) مى‌باشد و در نتيجه تابعى از تعداد افراد جامعه است که در مقايسه الگو توزيع درآمد جامعه‌هاى با تعداد افراد نامساوى موجب بروز ابهام مى‌شود. ثالثاً با داده‌هاى آمارى گروه‌بندى‌شده قابل برآورد نيست. زيرا در اين‌گونه داده‌ها، اندازه حد پائين و حد بالاى درآمدى مشخص نيست.

شاخص هرفيندال

اگر در بردار توزيع درآمد X، ميزان درآمد فرد iام با Xi و سهم درآمدى او از کل درآمد جامعه با yi نشان داده شود، در آن‌صورت:


Xi     = Xi = yi
  n
Xi
i=1


بنا به تعريف، شاخص نابرابرى درآمد هرفيندال، عبارت است از حاصل جمع توان دوم سهم درآمدى کليه افراد جامعه، رابطه زير، اندازه اين شاخص را که با H نشان مى‌دهند، به‌دست مى‌آورد:


(Xi)۲ n
i=1
۲-(nμ) = ۲(
Xi
n
Xi
i=1
) n
i=1
= n
۲(yi )∑
i=1
= H


در صورتى‌که X متغير تصادفى پيوسته باشد، شاخص مزبور به‌صورت زير بيان مى‌گردد:


[xd F(x)]۲  ∞
o
μ = [x f(x)dx]۲
o
μ = H


اين شاخص، برعکس شاخص دامنه تغييرات نسبي، با در نظر گرفتن کليه درآمدها، نحوه الگوى توزيع درآمد در سراسر جامعه مورد بررسى و بين همه افراد آن را مدنظر قرار مى‌دهد.

شاخص انحراف از ميانگين نسبى

اين شاخص درآمد هر يک از افراد جامعه مورد بررسى را با ميانگين درآمد کل آن جامعه (درآمدى که در صورت توزيع کاملاً عادلانه درآمد جامعه به هر يک از افراد آن تعلق مى‌گيرد) و برآورد ميانگين قدر مطلق اين انحرافات را نشان مى‌دهد


|xi - μ| n
i=1
(nμ) D/μ   = = M۱


که در حالت پيوسته بودن متغير تصادفى درآمد، با رابطه زير بيان مى‌شود:


[F(μ) - F۱(μ)]
۲ = dF(x) |x -μ |
o
μ f(x)dx = |x -μ |
o
μ M۱   =


با اين حال، در بيشتر نوشته‌هاى مربوط به توزيع درآمد، نصف M۱ به‌عنوان انحراف از ميانگين نسبى مورد استفاده قرار مى‌گيرد. بر اين اساس، اندازه شاخص انحراف از ميانگين نسبى از رابطه زير به‌دست مى‌آيد:


|xi - μ| n
i=1
(۲nμ) D/۲μ   = = M۲


اين رابطه در حالتى که X متغير تصادفى پيوسته باشد، به‌صورت زير بيان مى‌‌شود:


F(μ) - F۱(μ)
  =   dF(x) |x -μ |
o
(۲μ) f(x)dx = |x -μ |
o
(۲μ) M۲  = 


اندازه شاخص انحراف از ميانگين نسبى بين صفر (در حالت برابرى کامل توزيع درآمد) و n-۱/n (در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد) تغيير مى‌کند. زيرا در حالت برابرى کامل توزيع درآمد اندازه کليه درآمدها مساوى اندازه ميانگين درآمد جامعه است.


|xi - μ| n
i=1
(۱/۲nμ) = M۲
| μ - μ | n
i=1
(۱/۲nμ) = M۲
 ?0 (۱/۲nμ) = M۲
0 = M۲


و در حالت نابرابرى کامل توزيع درآمد، درآمد ۱ ـ n فرد جامعه مساوى صفر و درآمد نفر آخر مساوى کل درآمد جامعه (nμ) است. بنابراين:


|xi - μ| n
i=1
(۱/۲nμ)  = M۲
(xn- μ) (۱/۲nμ )? (μ-x) + n
i=1
(۱/۲nμ)  = M۲
μ (n-۱) (۱/۲nμ )×μ   + n
i=1
(۱/۲nμ)  = M۲


n -۱  = μ(n -۱)  + μ(n -۱)  = M۲
n ۲nμ ۲nμ

شاخص‌هاى اتتو ـ فريگى

اين شاخص از جمله شاخص‌هاى است که با شاخص انحراف از ميانگين نسبى و سطحى لورنز توزيع درآمد رابطه بسيار نزديک دارد. اين شاخص‌ها ابتدا توسط فريکى براى تجزيه و تحليل و برنامه‌ريزى توزيع درآمد کارگران، در سال ۱۹۶۵ پيشنهاد شد و سپس توسط هر دو محقق، در سال ۱۹۶۸ بسط داده شد.


اين شاخص‌ها متکى بر تقسيم جامعه مورد بررسى به دو گروه است، اولين گروه کسانى‌ هستند که درآمد آنان کمتر از ميانگين درآمد جامعه و دومين گروه متشکل از افرادى است که درآمد آنان در جامعه معادل ميانگين درآمد جامعه و يا بيشتر از آن است.


اگر ميانگين درآمد اين دو گروه را به ترتيب با μ۱ و μ۲ نشان دهيم، شاخص‌هاى مزبور به‌صورت زير تعريف مى‌گردد:


μ۲ = W
μ


μ۲ = V
μ۱


μ = U
μ۱


در رابطه فوق، u ميزان نابرابرى در گروه درآمدى پائين، V ميزان نابرابرى درآمد در کل جامعه و W ميزان نابرابرى درآمد در گروه درآمدى بالا را نشان مى‌دهد.