يکى از مهم‌ترين عواملى که قيمت هر اختيار معامله بدان‌ وابسته است. نوسان‌پذيرى قيمت ورقه بهاءدار مربوطه است. با ثابت در نظر گرفتن ساير عوامل، هر چه احتمال بازدهى ورقه بهاءدار بيشتر باشد، اختيار معامله موردنظر از قيمت بالاترى برخوردار خواهد گرديد. هر چه نوسان‌پذيرى قيمت ورقه بهاءدار مربوطه (مثلاً سهام) بيشتر باشد، خط قيمت بازار بالاتر خواهد بود. برعکس چنانچه احتمال اينکه سهم مزبور بازدهى قابل توجه داشته باشد، کمتر گردد اختيار معامله داراى قيمت کمترى خواهد شد و خط قيمت بازار به پائين‌ترين مرز خود (قيمت اختيار معامله) (خط y) نزديک‌تر خواهد بود. براى مثال، فرض کنيد که در آغاز دوره داراى اختيار معامله‌هاى صادره بر روى دو نوع سهم (الف) و (ب) هستيم. طبق جدول زير ملاحظه خواهيد کرد که ارزش مورد انتظار هر دو نوع سهم برابر با ۵۰ دلار مى‌باشد.

جدول توزيع احتمال قيمت سهام (الف) و (ب) در پايان دوره

احتمال وقوع %۱۰ %۲۵ %۳۰ %۲۵ %۱۰
قيمت سهام (الف) به دلار ۳۰ ۳۶ ۴۰ ۴۴ ۵۰
قيمت سهام (ب) به دلار ۲۰ ۳۰ ۴۰ ۵۰ ۶۰


جدول بالا نشان مى‌دهد که در سهم (ب) احتمال اينکه قيمت‌هاى بزرگتر نسبت به سهم (الف) داشته باشيم، بيشتر است. مضاف بر اين فرض کنيد که قيمت اعمال دو نوع سهم (الف) و (ب) در پايان دوره برابر با ۳۸ دلار باشد. بنابراين، دو سهم مزبور در پايان دوره داراى ارزش مورد انتظار برابر بوده و اختيار معامله‌ها نيز داراى قيمت اعمال مشابهى مى‌باشند. با وجود اين، ارزش مورد انتظار اختيار معامله صادره روى سهم (الف) در پايان دوره برابر خواهد بود با:


دلار 3.3 = [(0.1)(38 ـ 50)] + [(0.25)(38 ـ 44)] + [(0.3)(38 ـ 40)] + (0.25) + (0.1) = ارزش معامله انتظار اختيار مورد صادره روى سهم (الف)


در حالى‌که، ارزش مورد انتظار اختيار معامله صادره روى سهم (الف) برابر با ۳/۳ دلار است، اختيار معامله صادره روى سهم (ب) داراى ارزش مورد انتظارى معادل ۸۰/۵ دلار مى‌باشد. نحوه محاسبه ارزش مورد انتظار اختيار معامله صادره روى سهم (ب) به طريق زير نشان داده شده است:


دلار ۵.۸۰= [(0.1)(38 ـ 60)] + [(0.25)(38 ـ 50)] + [(0.3)(38 ـ 40)] + (0.25) + (0.1) = ارزش معامله انتظار اختیار صادره روی سهم (ب)


مثال بالا نشان مى‌دهد که هر چه نوسان‌پذيرى قيمت سهمى که اختيار معامله روى آن صادر شده است، بيشتر باشد؛ ارزش مورد انتظار اختيار معامله مزبور در دوره تا سررسيد بالاتر خواهد گرديد. در واقع، اين امر مديون اين حقيقت است که ارزش يک اختيار معامله نمى‌تواند کمتر از صفر باشد، در نتيجه هر چه نوسان‌پذيرى قيمت سهم بيشتر باشد، مابه‌التفاوت قيمت سهم و قيمت اعمال آن بزرگتر خواهد بود که اين امر موجب بزرگتر شدن ارزش مورد انتظار اختيار معامله مى‌گردد.


شکل زير مطالب فوق‌الذکر را بهتر نشان مى‌دهد. در اين نمودار، دو سهم (الف) و (ب) به نمايش گذاشته شده‌اند که داراى قيمت‌هاى پايان دوره‌اى متفاوت مى‌باشند. قيمت اعمال براى هر دو سهم (X) برابر بوده و در نتيجه حد پائين قيمت سهام در روز سررسيد مانند هم مى‌باشد. خط تيره‌تر پائين نمودار، اين مطلب را نشان مى‌دهد. از طرف ديگر، ملاحظه مى‌کنيد که توزيع احتمال قيمت سهام در پايان دوره‌ براى سهم (ب) از مورد مشابه در سهم (الف) بزرگ‌تر مى‌باشد. لازم به توضيح نيست که امر اخيرالذکر منعکس‌کننده نوسان‌پذيرى بيشتر سهم (ب) از (الف) است.


نوسان پذیری و قیمت اختیار معامله برای دو سهم مختلف الف و ب
نوسان پذیری و قیمت اختیار معامله برای دو سهم مختلف الف و ب

در ادامه مباحث، خواهيم ديد که قيمت اختيار معامله به ارزش مورد انتظار سهم بستگى ندارد. فرض کنيد، داراى دو سهم هستيم که داراى نوسان‌پذيرى يکسان و اختيار معامله‌هاى همانندى باشند؛ ولى يکى از دو سهم داراى ارزش مورد انتظارى بزرگتر از ديگرى است. على‌رغم اينکه انتظار داريم بازده روى سهمى که داراى قيمت (ارزش) مورد انتظار بزرگتر است بيشتر باشد، قيمت اختيار معامله صادره روى هر دو سهم برابر مى‌باشد. بنابراين، ملاحظه مى‌کنيد که مسئله تعيين‌کننده واريانس و يا نوسان‌پذيرى قيمت سهم است و نه ارزش مورد انتظار آن. آنچه که اخيراً بدان اشاره شد از مطالب بسيار مهم در رابطه با ارزش‌گذارى اختيار معامله بوده و کاربرد آن در مديريت مالى ما را در حل بسيارى از مسائل يارى خواهد کرد. براى درک مطالب، مثال ذکر شده راجع‌به ارزش اختيار معامله در پايان دوره را بسيار پيش‌پاافتاده آورديم.


تعيين قيمت اختيار معامله در آغاز دوره کمى پيچيده‌تر است. چرا که مستلزم محاسبه ارزش فعلى قيمت‌ها در پايان دوره مى‌باشد. در بخش‌هاى بعدى اين مطلب را با موشکافى بيشترى مورد بررسى قرار خواهيم داد. ضمن آنکه مسئله مهم نوسان‌پذيرى قيمت سهم و نقش آن در تعيين ارزش اختيار معامله را ناديده نخواهيم گرفت. اجازه دهيد، بحث خود را تا بدينجا به اين‌صورت خلاصه کنيم که: ارزش يا قيمت يک اختيار معامله خريد با افزايش متغيرهاى زير تغيير خواهد کرد:

جدول تغيير ارزش يا قيمت يک اختيار معامله خريد با افزايش متغيرهاى زير

افزايش در متغير تغيير در قيمت اختيار خريد
نوسان‌پذيرى قيمت سهام افزايش
مدت زمان باقى‌مانده سررسيد افزايش
نرخ بهره افزايش
قيمت اعمال کاهش
قيمت بازارى سهم افزايش


در نظر داشتن مطالب فوق‌الذکر، ما را در هنگام بحث‌هاى عميق‌تر راجع‌به قيمت‌گذارى اختيار معامله به مقدار زيادى يارى خواهد نمود.

فرآيند حرکت قيمت‌هاى سهام

هر متغير که مقدار آن در طول زمان طورى تغيير کند که تغييرات بعدى آن قابل پيش‌بينى نباشد، در اصطلاح متغير استوکاستيک ناميده مى‌شود، فرآيندهاى استوکاستيک در رابطه با زمان را مى‌توان به دو دسته تقسيم‌بندى نمود: فرآيند استوکاستيک با زمان گسسته و فرآيند استوکاستيک با زمان پيوسته، فرآيند استوکاستيک با زمان گسسته فرآيندى است که در آن مقدار يک متغير تنها در لحظات زمانى خاص و معين تغيير مى‌کند. اين در حالى است که در فرآيند استوکاستيک با زمان پيوسته مقدار متغير مزبور در هر لحظه زمانى خاص مى‌تواند تغيير کند.


فرآيندهاى استوکاستيک را همچنين مى‌توان به دو دسته فرآيندهاى استوکاستيک با متغيرهاى پيوسته و فرآيندهاى استوکاستيک با متغيرهاى گسسته تقسيم‌بندى نمود. در فرآيند استوکاستيک با متغيرهاى پيوسته، متغير موردنظر مى‌تواند هر مقدارى را در يک محدوده مشخص دارا باشد، در حالى‌که در فرآيند استوکاستيک يا متغير گسسته، متغير موردنظر فقط مى‌تواند مقادير خاصى را دارا گردد.


در اين گفتار از متغيرهاى پيوسته و يا فرآيند استوکاستيک يا زمان پيوسته براى قيمت‌هاى سهام استفاده مى‌کنيم. داشتن درک درستى از اين فرآيند، اولين گام در راستاى درک چگونگى قيمت‌گذارى اختيار معامله و ساير اوراق بهاءدار مشتقه (Derivative Securities) که توأم با پيچيدگى‌هاى خاص خود هستند، مى‌باشد. شايان‌ذکر است که در عمل قيمت‌هاى سهام ملاحظه شده طورى هستند که از فرآيند استوکلاستيک با زمان پيوسته و يا فرآيند استوکاستيک با متغيرهاى پيوسته پيروى نمى‌نمايند. قيمت‌هاى سهام محدود به مقادير گسسته بوده و تغييرات را تنها در زمانى‌که معامله به‌صورت باز صورت مى‌پذيرد، مى‌توان ملاحظه نمود. با وجود اين بايست اذعان نمود که مدل‌هاى ارائه‌شده از طريق فرآيند استوکاستيک با زمان پيوسته و همين‌طور فرآيند استوکاستيک با زمان گسسته، مدل‌هاى مفيدى جهت ارزش‌گذارى اوراق بهاءدار فوق‌الذکر را به‌دست خواهد داد.

فرآيند مارکو

فرآيند مارکو نوع خاصى از فرآيند استوکاستيک است که در آن تنها از مقدار فعلى متغيرها براى پيش‌بينى آينده استفاده مى‌گردد. سوابق تاريخى متغير و همين‌طور مسير طى شده توسط متغير تا بروز حالت فعلى آن در اين فرآيند امرى نامربوط تلقى مى‌گردد.


معمولاً فرض مى‌شود که قيمت‌هاى سهام از فرآيند مارکو تبعيت مى‌نمايند. فرض کنيد که قيمت سهام شرکت (الف) در حال صد دلار است. چنانچه قيمت سهام کمپانى از فرآيند مارکو تبعيت کند، پيش‌بينى قيمت آينده سهام بايست از قيمت هفته گذشته ماه گذشته و همين‌طور سال گذشته آن تأثيرناپذير باشد. تنها قيمتى که جزء اطلاعات مربوط به حساب مى‌آيد، اين واقعيت است که قيمت‌هاى سهام اين کمپانى در حال حاضر ۱۰۰ دلار است.(۱) الگوى مارکو راجع‌به قيمت‌هاى سهام با فرم کارآئى بازار به‌صورت ضعيف سازگارى دارد. اين مطلب بيانگر آن است که قيمت فعلى سهام در بازار کليه اطلاعات موجود در رکورد قيمت‌هاى گذشته را با خود به همراه دارد. چنانچه فرم بازار به‌نحو کارا به‌صورت ضعيف وجود نداشت، تحليل‌گران فنّى (Technical Analysts) قادر مى‌شدند تا با تفسير نمودارهاى ترسيمى از قيمت‌هاى گذشته سهام، بازدهى بالاتر از حد متوسط کسب نمايند.


 (۱) . داده‌هاى آمارى قيمت‌هاى سهام در گذشته نيز مى‌تواند در تعيين مشخصات فرآيند استوکاستيک که قيمت سهام کمپانى مزبور (مثلاً نوسان‌پذيرى قيمت آن) از آن تبعيت مى‌کند نيز سودمند افتد. نکته‌اى که در اينجا توجه بدان لازم است اين است که الگوى خاصى که قيمت سهام اين شرکت در گذشته از آن تبعيت کرده است، امرى نامربوط به‌شمار مى‌آيد.