در اين بخش به شما نشان مى‌دهيم که چگونه مى‌توان يک اختيار خريد اروپائى را در شرايط ساده شده قيمت‌گذارى نمود. مثال مزبور به شيوه‌اى طراحى شده است که بتواند زمينه درک مدل قيمت‌گذارى بلک ـ شولز را نيز فراهم آورد. فرض کنيد که قيمت سهمى در حال حاضر ۲۰ دلار بوده و يقين داريم که پس از يک ماه ديگر قيمت آن ۲۲ دلار و يا ۱۸ دلار خواهد شد. اختيار خريد اروپائى را در نظر گيريد که طبق آن دارنده مى‌تواند سهم مورد بحث را ظرف مدت يک ماه به قيمت ۲۱ دلار خريدارى نمايد. چنانچه قيمت سهم به ۲۲ دلار برسد، اختيار خريد مزبور به اندازه يک دلار ارزش خواهد داشت و چنانچه قيمت سهم مزبور به ۱۸ دلار تنزل يابد، اختيار معامله مزبور صفر دلار ارزش خواهد داشت. نمودار زير اين وضعيت را براى شما ترسيم مى‌کند.


بدره‌اى را در نظر بگيريد که شامل α سهم از سهام مزبور براى موقعيت بلند (Long Position) و يک اختيار خريد براى موقعيت کوتاه (Short Position) مى‌باشد. ارزش پرتفوى مزبور ـ در صورتى‌که قيمت سهم افزايش يابد ـ ۱ـ ۲۲α و در صورتى‌که قيمت سهم کاهش، يابد ۱۸α خواهد گرديد. زمانى‌که α را برابر با ۲۵ بگيريم، هر دو مقدار مزبور برابر خواهند شد با:


۱۸ α = ۲۲ α - ۱ => α = ۰/۲۵


      قیمت سهم   = ۲۲ => قیمت اختیار خرید = ۱ دلار
 
قیمت هر سهم = ۲۰ دلار              
 
      قیمت سهم   = ۱ ۸ => قیمت اختیار خرید = ۰ دلار
 


بنابراين، به ازاء α= 0.25، بدره موردنظر بدون ريسک مى‌باشد. بدون توجه به آنچه که اتفاق مى‌افتد، ارزش بدره مزبور يا بهتر بگوئيم موقعيت اتخاذشدهٔ برابر با ۵/۴ دلار در يک ماه خواهد بود. ارزش جارى پرتفوي، در حالتى که α=0.25 باشد، برابر با:


۲۰ × ۰/۲۵ - f = ۵ - f


خواهد بود. در رابطهٔ فوق‌الذکر f را به‌عنوان قيمت جارى اختيار معامله در نظر گرفته‌ايم. نکته ديگر آنکه بهره بدون ريسک در حالت عدم وجود فرصت‌هاى آربيتراژ مى‌بايد. نرخ بازده بدون ريسک را براى دارنده آن به ارمغان آورد. فرض کنيد نرخ بهره بدون ريسک در ماه برابر با يک در صد (که ماهيانه نيز مرکب مى‌شود) باشد. بدين ترتيب، خواهيم داشت:


۱/۰۱ ( ۵ - f ) = ۴/۵


یا :


f = ۵ - ۴/۵    = ۰/۵۴۴۵  

۱/۰۱


اين امر بدان‌معنى است که قيمت جارى اختيار معامله ۵۴۴۵/۰ دلار است. شايد خواننده مطالب از اينکه ما احتمالات افزايش و يا کاهش قيمت سهام را در محاسبه خود دخالت نداده‌ايم، تعجب کند. صبر کنيد تا اين مطلب را در دو بخش بعد مورد بررسى قرار دهيم.

مدل دوجمله‌اى تجديدنظرشده

در اين بخش، به مثال ذکرشده در همين مبحث در خصوص مدل دوجمله‌اى بازمى‌گرديم. به خاطر داريد که در مثال مزبور قيمت سهام در بازار برابر با ۲۰ دلار بود و امکان افزايش و يا کاهش آن به ۲۲ و يا ۱۸ دلار پس از يک ماه وجود داشت. ورقه بهاءدار مشتقه‌اى که در اين مثال وجود دارد، اختيار خريدى است که قيمت اعمال آن ۲۱ دلار است. به خاطر داريم که در آن بخش قيمت اختيار معامله مزبور را بدون احتساب احتمال افزايش و يا کاهش قيمت بازارى سهام محاسبه نموديم و به رقم ۰/۵۴۴۵ دلار رسيديم. اين امر را اين‌طور مى‌توان تعبير کرد که قيمت اختيار معامله از بازده مورد انتظار سهام مستقل است اين مسئله با آنچه که تاکنون درباره معادله ديفرانسيلى بلک ـ شولز مبنى بر مستقل بودن آن از نرخ بازده مورد انتظار روى سهام گفتيم، سازگارى تام دارد. در اينجا مى‌خواهيم به شما نشان دهيم که مى‌توان قيمت اختيار خريد را با قيمت‌گذارى در شرايط بى‌تفاوت نسبت به ريسک نيز به‌دست آورد. در حالتى که بى‌تفاوتى نسبت به ريسک بر محيط حاکم باشد، نرخ بازده مورد انتظار روى سهام برابر با نرخ بهره بدون ريسک ماهانه يک درصدى خواهد بود. بنابراين، احتمال افزايش قيمت سهام ”P“ بايد در معادله زير قابل استفاده باشد:


۲۲ P + ۱ ۸ ( ۱ - P )  = ۲۰  × ۱/۰۱


يعنى اينکه، P بايد معادل ۵۵/۰ باشد. ارزش مورد انتظار اختيار خريد طى يک ماه با استفاده از مقدار P مزبور ـ برابر خواهد بود با:


دلار ۵۵/۰ = ۴۵/۰ × ۰ + ۱/۰ × ۵۵/۰


مقدار مزبور (۵۵/۰) ارزش پايانى مورد انتظار (Expected Terminal Values) اختيار خريد در جهان بى‌تفاوت نسبت به ريسک مى‌باشد. ارزش فعلى پايانى مورد انتظار مزبور در هنگام استفاده از نرخ تنزيل (بهره) بدون ريسک برابر است با:


۰/۵۴۴۵ = ۱/۰۱ ÷ ۰/۵۵


و يا ۵۴۴/۰ دلار، اين مقدار برابر با همان مقدار به‌دست آمده در بخش ذکرشده مى‌باشد. بنابراين ملاحظه نموديد که پاسخ‌هاى به‌دست آمده در شرايط بى‌تفاوت نسبت به ريسک با پاسخ‌هاى به‌دست آمده در شرايط عدم وجود آربيتراژ بدون ريسک (Riskless Arbitrage Arguments) مشابه مى‌باشد. مى‌توان نشان داد که براى مدل دوجمله‌اى همواره اين حالت برقرار مى‌باشد. حرکت براونى هندسى را مى‌توان به‌عنوان حالت خاصى از مدل دوجمله‌اى به حساب آورد.


چنانچه نشان دهيم که ارزش‌گذارى بى‌تفاوتى نسبت به ريسک هميشه براى مدل دوجمله‌اى در واقع نشان داده‌ايم که ارزش‌گذارى مزبور براى حالتى که قيمت‌هاى سهام داراى حرکت براونى هندسى هستند نيز وجود خواهد داشت.