معادله ديفرانسيلى بلک ـ شولز، معادله‌اى است که جهت قيمت‌گذارى هرگونه ورقه بهاءدار مشتقه صادره روى سهمى که سود نمى‌پردازد. استفاده مى‌گردد. به‌عبارت ديگر، قيمت اوراق بهاءدار مزبور ” I “ با توجه به خود مدل و يا مفاهيمى که در پس آن قرار دارند تعيين مى‌گردد. در اين قسمت، طبيعت خود مدل را مورد بررسى قرار مى‌دهيم.


به‌طور خلاصه، مى‌توان گفت که بحث در مورد مدل بلک ـ شولز به بحثى که در مورد قيمت‌گذارى اختيار خريد در شرايط ساده متوسط مدل دوجمله‌اى در قسمت قبلى داشتيم، شباهت دارد. در اين حالت، بهره بدون ريسک که شامل يک موقعيت از اوراق بهاءدار مشتقه و يک موقعيت از سهمى که اوراق بهاءدار مزبور روى آن صادر شده‌اند، درست مى‌شود و سپس بازده پرتفوى مزبور با نرخ بهره بدون ريسک برابر قرار داده مى‌شود. طبق تجزيه و تحليل ارائه شده توسط بلک ـ شولز، پرتفوى درست شده تنها براى يک مدت بسيار کوتاه بدون ريسک باقى مى‌ماند. با وجود اين، بايد خاطرنشان کرد که تنها در صورتى نرخ بازده پرتفوى برپا شده در اين مدت کوتاه بدون ريسک باقى خواهد ماند که فرصت‌هاى آربيتراژ حذف گرداند.


دليل اينکه چرا مى‌توان يک بهره بدون ريسک درست کرده آن است که قيمت سهام و قيمت اوراق بهاءدار مشتقه صادره بر روى اين سهم، هر دو تحت تأثير يک منبع عدم اطمينان قرار مى‌گيرند. اين امر، بدان مفهوم است که در هر دورهٔ زمانى کوتاه‌مدت اين دو (قيمت سهام و قيمت اوراق بهاءدار مشتقه صادره روى آن) به‌صورت کامل همبسته هستند. زمانى‌که بدره‌اى متناسب از سهام و اوراق بهاءدار مشتقه صادره روى آن درست گردد، سود (زيان) ناشى از موقعيت درست شده توسط سهام در اکثر موارد توسط زيان (سود) ناشى از موقعيت اوراق بهاءدار مشتقه خنثى مى‌شود. به‌طورى‌که، در پايان دوره کوتاه‌مدت زماني، ارزش کل بدره با اطمينان کاملى معلوم مى‌باشد.

مفروضات مدل بلک ـ شولز

مفروضاتى که جهت استنتاج مدل بلک ـ شولز مورد استفاده قرار مى‌گيرند، به قرار زير مى‌باشند:


۱. قيمت سهام از فرآيندى که در مطالب قبلى از آن سخن به ميان آورديم، پيروى مى‌کند و ثابت‌هاى آن μ و σ مى‌باشند.


۲. فروش اوراق بهاءدار به‌صورت کوتاه بوده و عوايد حاصله به‌طور کامل مورد استفاده قرار مى‌گيرند.


۳. هزينه‌هاى معاملاتى و مالياتى وجود ندارد و اوراق بهاءدار به‌طور کامل تقسيم‌پذير هستند.


۴. طى عمر ورقه بهاءدار مربوطه، هيچ‌گونه سود سهامى پرداخت نمى‌شود.


۵. هيچ نوع فرصت آربيتراژ بدون ريسک وجود ندارد.


۶. معامله اوراق بهاءدار به‌صورت پيوسته انجام مى‌پذيرد.


۷. نرخ بهره بدون ريسک ” r “ ثابت بوده و براى تمام سررسيدها يکسان مى‌باشد.


البته همان‌طور که قبلاً نيز گفتيم؛ مى‌توان مفروضات فوق را کنار گذاشت و r، μ و σ را توابعى از t به حساب آورد.

به‌دست آوردن مدل ديفرانسيلى بلک ـ شولز

حال در اين قسمت از سلسله مباحث خود، مدل ديفرانسيلى بلک ـ شولز را براى آنها استخراج خواهيم کرد. در اينجا، فرض مى‌شود که قيمت سهام (S) از فرآيند زير تبعيت مى‌کند:


d s = μ S d t + σ S d t ( ۱۲ )


فرض کنيد f قيمت ورقه بهاءدار، مشتقه‌اى است که روى S صادر شده است. متغير S بايد تابعى از S و t باشد. بنابراين، طبق معادله (۱۱) خواهيم داشت:


  (   ∂ f µ S +   ∂ f    ۱  ۲ σ۲ S۲ ) d t +   ∂ f  
d f =

+


 σ S d Z ( ۱۳ )
  ∂ S ∂ t   ۲  ∂ S۲  ∂ S  


حالت گسسته معادلات (۱۲) و (۱۳) از قرار زير است:


∆ S = µ S ∆t + σ S ∆ Z ( ۱۴ )


  (   ∆ f µ S +   ∂ f    ۱  ۲ σ۲ S۲ ) ∆t +   ∆ f  
∆ f =

+


 σ S ∆ Z ( ۱۵ )
  ∆ S ∂ t   ۲  ∂ S۲  ∆ S  


در معادلات (۱۴) و (۱۵) فوق‌الذکر ΔS و Δf تغييرات روى داده و S و f طى فاصله زمانى کوتاه‌مدت Δt مى‌باشند. از طرف ديگر، ضمن مبحث ارائه‌شده در خصوص قضيه ITO به خاطر داريد که فرآيندهاى وينرى که در پس f و S قرار دارد، مثل هم مى‌باشند. به بيان ديگر، مقدار (ε√ΔX = ΔZ) در دو معادله (۱۴) و (۱۵) مشابه هم هستند. نتيجه اين امر آن خواهد بود که با انتخاب بدره‌اى از سهام و اوراق بهاءدار مشتقه مى‌توان فرآيند وينر را حذف نمود و بدين ترتيب بدرهٔ مناسب از قرار زير خواهد شد:


اوراق بهاءدار مشتقه: ۱-  
اوراق سهام: f / ∂S∂+  


دارندهٔ اين پرتفوى داراى دو موقعيت است: موقعيت کوتاه از بابت داشتن يک ورقه بهاءدار مشتقه و موقعيت بلند از بابت داشتن مقدار f / ∂S∂ از سهام.


اجازه دهيد تا л را به‌عنوان ارزش پرتفوى تعريف نمائيم که برابر خواهد بود با:


π =  - f + ∂ f    

 S   ( ۱۶ )
∂ S    


تغيير در ارزش پرتفوى (Δx) طى زمان Δt را مى‌توان از طريق معامله زير به‌دست آورد.


∆ π = ∆ f + ( ∂ f  / ∂ S ) ∆ S ( ۱۷ )


با جاى‌گذارى معادلات (۱۴) و (۱۵) در معادله (۱۷) خواهيم داشت:


  ( -     ∂ f   -  ۱  ۲ f     σ۲ S۲ ) ∆ t  
∆ π =


( ۱۸ )
  ∂ t ۲  ∂ S۲ 


از آنجائى‌که در معادله فوق‌الذکر، ΔZ وجود ندارد. انتظار داريم که پرتفوى (ارزش پرتفوى) л طى دوره Δt بدون ريسک باشد. بنابر مفروضات بيان شده در بخش قبلي، اين پرتفوى بايد بازدهى همانند بازده اوراق بهاءدار کوتاه‌مدتى که بدون ريسک است، را فراهم آورد. چنانچه اين پرتفوي، بازدهى بالاتر از بازده بدون ريسک کسب کند، با آربيتراژ مى‌توان سودى بدون ريسک عايد خود کرد. اين‌کار با فروش اوراق بهاءدار بدون ريسک به‌صورت کوتاه و خريد پرتفوى صورت مى‌گيرد. برعکس، چنانچه پرتفوى به‌صورت کوتاه و خريد اوراق بهاءدار بدون ريسک سود عارى از ريسک نصيب خود کرد. بنابراين، خواهيم داشت:


Δ л = r л Δ t


در معادله فوق‌الذکر، r نرخ بهره بدون ريسک مى‌باشد. با جايگذارى معادلات (۱۶) و (۱۷) در تساوى فوق خواهيم داشت:


(   ∂ f   +  ۱  ۲ f     ∆ t = r ( f -   ∂ f S ) ∆ t




∂ t   ۲    ∂ S۲    ∂ S 


لذا داریم:


  ∂ f + r S ∂ f +  ۱  σ۲ S۲ ۲ f   = r f (۱۹ )




∂ t ∂ S ۲  ∂ S۲ 



معادله (۱۹) معادله ديفرانسيلى بلک ـ شولز مى‌باشد. معادله مزبور پاسخ‌هاى زيادى داشته و براى کليه اوراق بهاءدار مشتقه‌اى که مى‌توان S را به‌عنوان تغيير اساسى آنها به‌شمار آورد، قابل استفاده مى‌باشد. بسته به شرايط حدى مورد استفاده مى‌توان اوراق مشتقه متفاوتى را قيمت‌گذارى نمود. اين مدل، قيمت اوراق مشتقه را در مقادير حدى ممکن مربوط به t،S به‌دست مى‌دهد. در حالتى که اين مدل را جهت قيمت‌گذارى اختيار خريد اروپائى مورد استفاده قرار مى‌دهيم، شرط حدى کليدى از قرار زير است:


t = T: وقتى‌که f = Max ( S - X, O )         (۱)


(۱)
 
حتماً به ياد داريد که در اوايل مبحث ارزش‌گذارى اختيار معامله، سقف و قيمت اختيار معامله خريد را به بحث گذاشتيم.


در حالتى که مدل مزبور را جهت قيمت‌گذارى اختيار فروش اروپائى مورد استفاده قرار دهيم، شرط حدى کليدى برابر با:


t = T: وقتى‌که f = Max ( X - S, O )         (۲)


(۲) . معادله فوق، در واقع ارزش تئوريکى اختيار فروش اروپائى را به‌دست مى‌دهد.


مى‌باشد. نکته‌اى که در مورد ارزش پرتفوى در به‌دست آوردن معادله (۱۹) بايست مورد توجه قرار گيرد، اين است که پرتفوى مزبور به‌صورت دائمى بدون ريسک نمى‌باشد. اين پرتفوى (معادله ذکرشده) فقط به ازاء مقادير بى‌نهايت کوچک t بدون ريسک مى‌باشد. با تغيير S و t مقدار f / ∂S∂ نيز تغيير خواهد کرد. براى اينکه اين پرتفوى را بدون ريسک نگه‌داريم، بايد همواره اقدام به تغيير نسبت اوراق بهاءدار مشتقه و سهام در آن نمود.