بلک براى احتساب اعمال قبل از موعد اختيار معامله، رويه‌اى تقريبى پيشنهاد نموده است.(۱) اين رويه مستلزم محاسبه قيمت اختيار خريدهاى اروپائى که در زمان‌هاى T و t سررسيد مى‌شوند، مى‌باشد. پس از محاسبه قيمت اختيار معامله‌هاى مزبور، قيمت اختيار معامله آمريکائى معادل قيمت بزرگتر قرار داده مى‌شود. به‌نظر مى‌رسد که تقريب مزبور در اکثر موارد کارآ باشد. رويه‌اى دقيق‌تر از روش پيشنهادهاى بلک، توسط رول (Roll)، جسک (Geske)، و والى (Whaley) ارائه شده  است.  براى   روشن  شدن  مطلب،  مثال  قبل  را  در   نظر  بگيريد،   فرض  کنيد  که  به‌جاى  اختيار  معامله اروپائي،  اختيار  معامله  آمريکائى  در  دسترس  مى‌باشد.  در  اين  حالت، r = ۰/۰۹, X = ۴۰, S =  ۴۰, D۱= D۲ = ۰/۵ بوده و t۱ پس از دو ماه و t۲ پس از پنج ماه اتفاق مى‌افتد. به اين ترتيب، داريم:


X ( ۱ - e- r (t۲ + t۱) ) = ۴۰ ( ۱ - e- ۰/۰۹ × ۰/۲۵) = ۰/۸۹


( ،41ـ F.Black (July/August 1975) “Fact and Fantasy in the Use of Options”، Financial Analysis Journal، 31، P.P:، .36 P.P: 61 / 72 . (۱)


از آنجائى‌که مقدار به‌دست آمده (۳۰/۰) بيشتر از ۵/۰ مى‌باشد. [نامعادله (۲۵) را ببينيد]، لذا بايست زمانى به اعمال اختيار معامله مبادرت نمود که اين اختيار معامله به اندازه کافى ارزشمند باشد. اين امر، در تاريخ استحقاق سود قبلى سهام محقق مى‌شود.


حال با استفاده از تقريب بلک، جهت قيمت‌گذارى اختيار معامله مبادرت مى‌نمائيم. ارزش فعلى اولين سود سهم برابر است با:


۰/۵e- ۰/۱۶۶۷ × ۰/۰۹ = ۰/۴۹۲۶


به‌طورى‌که ارزش اختيار معامله، تحت فرض اينکه زمان سررسيد اختيار معامله مورد بررسى دقيقاً قبل از تاريخ استحقاق سود قبلى سهام پايانى قرار دارد، را مى‌توان با استفاده از مدل بلک ـ شولز، به ازاء T - t = ۰/۴۱۶۷ , σ = ۰/۳,  r = ۰/۰۹, X = ۴۰, S = ۳۹/۵۰۷۴ محاسبه نمود. اين مقدار برابر با ۵۲/۳ دلار خواهد گرديد. در تقريب بلک، از بين ارزش به‌دست آمده در حالت اخيرالذکر برابر با ۶۷/۳ دلار مى‌باشد. بنابراين، برحسب تقريب بلک، ارزش اختيار معامله آمريکائى برابر با ۶۷/۳ دلار مى‌گردد.


والى (Whaley) به‌صورت تجربى اقدام به نسبت سه مدل مختلف از جمله دو مدل زير براى قيمت‌گذارى اختيار معامله آمريکائى صادره روى سهمى که سود پرداخت مى‌کند، نموده است. اين دو مدل که عبارت از مدل بلک (تقريب بلک) و مدل قيمت‌گذارى اختيار معامله اروپائى ارائه‌ شده در اين مبحث بودند، متوسط درصد خطائى به ترتيب برابر با: ۴۸/۱ و ۱۵/۲ را به‌دست دادند.


محور اصلى بحث ما را تا بدين‌جا بحث در مورد اختيار خريد آمريکائى تشکيل مى‌داد. نکته شايان‌ذکر در اينجا آن است که وجود سود سهام، احتمال اعمال قبل از موعد اختيار فروش آمريکائى را ضعيف مى‌کند. مى‌توان نشان داد که وجود سود سهام احتمال اعمال زودتر از موعد اختيار فروش آمريکائى را ضعيف مى‌کند. مى‌توان نشان داد که اعمال اختيار فروش آمريکائى در زمانى‌که دقيقاً قبل از يک تاريخ استحقاق سود سهام قبلى باشد، کارى تقريباً بيهوده است.(۲)


در واقع چنانچه به ازاء کليه مقادير i<n:


Di >= X ( ۱ - e- r (ti + ۱ + ti) )


Dn >= X ( ۱ - e- r (T + tn) )


H.E. Duhnson (1981). “Three Topics in Option Pricing” ، PH.D. Thesis، University of California، P.42، Los Angeles . (۲)


باشد، با استدلالى مشابه استدلال اخيرالذکر مى‌توان نشان داد که اعمال قبل از موعد اختيار فروش اصلاً به صلاح نيست. در ساير حالت‌ها، جهت قيمت‌گذارى اختيار فروش بايستى از روش‌هاى رياضى استفاده نمود.