در اختيار معامله اروپائي، مى‌توان فرض کرد که قيمت سهام داراى دو جزء است: يک جزء بدون ريسک که جهت پرداخت سود سهام دانسته شده طى عمر اختيار معامله مورد استفاده قرار مى‌گيرد و يک جزء توأم با ريسک جزء بدون ريسک در هر لحظه از زمان، برابر با ارزش فعلى کليه سود سهام پرداختى طى عمر اختيار معامله از زمان تاريخ استحقاق سود قبلى سهام تا زمان حاضر مى‌باشد. در اين حالت، سود سهام مزبور با نرخ بهره بدون ريسک تنزيل مى‌شود. سود انواع سهام پرداختى باعث ناپديد شدن جزء بدون ريسک در هنگام سررسيد شدن اختيار معامله مى‌گردد. بنابراين، چنانچه S را برابر با جزء ريسکى قيمت سهام و σ را نوسان‌پذيرى فرآيند تبعيت شده توسط جزء ريسکى مزبور بدانيم. فرمول بلک ـ شولز درست خواهد بود.(۱) در عمل، اين مسئله بدان‌مفهوم است که از مدل بلک ـ شولز مى‌توان استفاده نمود، البته مشروط به اينکه قيمت سهام به اندازه ارزش فعلى کليه سود سهام پرداختى طى دوره عمر اختيار معامله کاهش يابد. ضمناً به ياد داشته باشيد که تنزيل سود سهام اخيرالذکر از تاريخ استحقاق سود قبلى سهام با نرخ بهره بدون ريسک صورت خواهد پذيرفت توجه کنيد که تنها در صورتى‌ سود سهام را در محاسبات خود وارد خواهيم نمود که تاريخ استحقاق سود قبلى سهام، طى عمر اختيار معامله واقع گردد.


(۱) . در تئورى جزء ريسکى دقيقاً مشابه نوسان‌پذيرى فرآيند استوکاستيک تبعيت شده توسط کل قيمت سهام نمى‌باشد. نوسان‌پذيرى جزء ريسکى تقريباً برابر با نوسان‌پذيرى کل قيمت سهام ضربدر (V ـ S/s) مى‌باشد که در آن V ارزش فعلى سود سهام است. در عمل، اين دو را در اغلب موارد مشابه يکديگر فرض مى‌نمائيم.


براى مثال، اختيار خريد اروپائى صادره روى سهمى را در نظر بگيريد که در آن تاريخ‌هاى استحقاق سود قبلى سهام دو ماه و پنج ماه مى‌باشد. مقدار سود سهام پرداختى در هر يک از اين دو تاريخ برابر با ۵۰/۰ دلار است. مضاف بر اين، اطلاعات زير نيز در دسترس است:


۱. قيمت جارى سهام در بازار برابر با ۴۰ دلار است.

۲. قيمت اعمال اختيار خريد برابر با ۴۰ دلار است.

۳. نوسان‌پذيرى ساليانه سهام برابر با ۳۰ درصد است.

۴. نرخ بهره بدون ريسک ساليانه ۹ درصد است.

۵. مدت زمان باقى‌مانده تا سررسيد اختيار معامله برابر با شش ماه است.


با توجه به اطلاعات فوق‌الذکر ارزش فعلى سود سهام مزبور از قرار زير محاسبه مى‌گردد.


۰/۵e- ۰/۱۶۶۷ × ۰/۰۹ + ۰/۵e۰/۴۱۶۷ × ۰/۰۹ = ۰/۹۷۴۱


سپس، مى‌توان قيمت اختيار معامله مورد بحث را با استفاده از فرمول بلک ـ شولز با پارامترهاى T - t = ۰/۵, σ = ۰/۳, r = ۰/۰۹, S = ۳۹/۰۲۵۹, X = ۴۰ محاسبه نمود. به اين ترتيب، خواهيم داشت:


  Ln۰/۹۷۵۶ + ۰/۱۳۵ ? ۰/۵  = ۰/۰۲۰۱۷
d۱ =
  ۳ √ ۰/۵


  Ln۰/۹۷۵۶ + ۰/۰۴۵ ?  ۰/۵  
d۲ =
 = - ۰/۰۰۱۰۴
  ۳ √ ۰/۵  


به اين ترتيب، با استفاده از جدول توزيع نرمال استاندارد خواهيم داشت:


N ( d۱ ) = ۰/۵۸,  N ( d۲ ) = ۰/۴۹۵۹


با استفاده از معادله (زیر)، قيمت اختيار خريد موردنظر برابر خواهد بود با:


C = S N ( d۱ ) - Xe-r ( T - t ) N ( d۲ ) ( ۲۲ )


۳۹/۰۲۵۹  ? ۰/۵۸ - ۴۰e- ۰/۰۹ × ۰/۵ × ۰/۴۹۵۹ = ۳/۶۷ دلار