سهمى را در نظر بگيريد که بازده نقدى ساليانه‌اى با نرخ α مى‌پردازد. براى فهم چگونگى قيمت‌گذارى اختيار معامله صادره روى بک چنين سهمي، اجازه دهيد تا سهم مزبور را با سهم مشابهى که سود پرداخت نمى‌کند، مقايسه کنيم. همان ‌طورى‌که گفتيم، پرداخت سود سهام باعث تنزل قيمت سهام به اندازه سود پرداختى گرديد. بدين‌ترتيب، مى‌توان گفت که پرداخت مداوم سود سهام با نرخ α باعث مى‌شود که نرخ رشد قيمت سهام به اندازه α از نرخ رشد مزبور در مواردى‌ که سود پرداخت نمى‌نمايد، کمتر گردد. چنانچه سهمى با نرخ α سود پرداخت کند و قيمت آن در زمان t از S به ST در زمان T افزايش يابد، مى‌توان گفت؛ در صورتى‌که سهم مزبور، سود نپردازد؛ قيمت آن از ” S “ به (ST e - α (T - t افزايش  خواهد  يافت.  به  همين  ترتيب  قيمت مزبور از (ST e - α (T - t در زمان ” t “ به ” ST “ در زمان ”T“ خواهد رسيد. با توجه به اين مطلب مى‌توان ادعا کرد؛ قيمت اختيار معامله اروپائى صادره روى سهمى با قيمت ”S“ که با نرخ α سود پرداخت مى‌نمايد، مشابه قيمت اختيار معامله اروپائى صادره روى سهمى با قيمت (ST e - α (T - t که سودى نمى‌پردازد، خواهد شد. اين امر، به‌دليل برابر بودن قيمت نهائى دو سهم (فرض کرده‌ايم که دو سهم مشابه هستند) مى‌باشد. بنابراين، به‌منظور ارزش‌گذارى اختيار معامله اروپائى صادره روى سهمى که سود مشخصى را مى‌پردازد، مى‌توانيم قيمت سهم را از ”S“ به ” (ST e - α (T - t “ کاهش داده و سپس از فرمول بلک ـ شولز استفاده نمائيم. با جاى‌گذارى ” (ST e - α (T - t “ به‌جاى ”S“ (در فرمول بلک ـ شولز) معادلات (۲۲) و (۲۳) به‌صورت زير درخواهد آمد:


C = S N ( d۱ ) - Xe-r ( T - t ) N ( d۲ ) ( ۲۲ )


P = Xe- r ( T - t ) N ( - d۲  ) - S N  ( d۱ ) ( ۲۳ )


C = Se- α ( T - t ) N ( d۱ ) - Xe- r (T - t) N ( d۲ ) ( ۲۶ )


P = Xe- r ( T - t ) N( d۲ ) - Se- α ( T - t ) N ( d۱ ) ( ۲۷ )


از آنجائى‌که (Ln (Se- α ( T - t ) / X )= Ln (S / X) - α (T - t است. d۱ و d۲ را مى‌توان به طريق زير محاسبه نمود:


  Ln ( S / X ) + ( r - α + σ۲ / ۲ ) ( T - t )  
d۱ =
  σ √ T - t


  Ln ( S / X ) + ( r - α - σ۲ / ۲ ) ( T - t ) d۱ - σ √ T - t
d۲ =
  σ √ T - t


مرتون(۱) اولين کسى بود که نتايج فوق‌الذکر را به‌دست آورد. منظور از سود، کاهش قيمت سهم در تاريخ استحقاق سود قبلى سهام که ناشى از پرداخت سود است، مى‌باشد چنانچه نرخ سود سهام پرداختى طى دوره عمر اختيار معامله ثابت نباشد، باز هم مى‌توان از معادلات (۲۶) و (۲۷) استفاده کرد، منتهيٰ در اين حالت α برابر با متوسط ساليانه بازده نقدى (سود سهام) طى دوره عمر اختيار معامله خواهد شد.


83 ـ L. Merton (Spring 1973).“Theory of Rational Option Pricing”، Bell Journal of Economics and Management Sciencs، 4.P.P: 141 . (۱)


برقرارى معادلات ( ديفرانسيلي) توسط اوراق بهاءدار مشتقه‌اى که قيمت آنها ”f“ به قيمت سهام با نرخ سود پرداختى ثابت وابسته است، ضرورى است. همانند معادله ديفرانسيلى بلک ـ شولز پايه، بنابراين روش ارزش‌گذارى تحت شرايط بى‌تفاوت نسبت به ريسک را به‌کار مى‌بريم. در عالم بى‌تفاوت نسبت به ريسک، بازده کل سهام بايست برابر با r باشد. سود سهام پرداختي، بازدهى برابر با α را به‌دست خواهد داد. بنابراين، نرخ رشد نسبى در قيمت سهام بايد برابر با ”α ـ r“ باشد. لذا به‌منظور ارزش‌گذارى ورقه بهاءدار مشتقه صادره روى سهمى با نرخ ثابت پرداختي، نرخ رشد مورد انتظار در سهام را برابر با ”α ـ r“ قرار داده و جريانات نقدى مورد انتظار را با نرخ ”r“ تنزيل مى‌کنيم. از اين روش، مى‌توان براى استخراج معادلات (۲۶) و (۲۷) بهره برد. براى مثال:


اختيار خريد اروپائى صادره روى شاخص پانصد سهم استاندارد اند پورز را که دو ماه تا سررسيد آن باقى است، در نظر بگيريد. شاخص قيمت در حال حاضر ۳۱۰، قيمت اعمال برابر با ۳۰۰، نرخ بهره بدون ريسک ساليانه برابر با ۸ درصد و نرخ نوسان‌پذيرى شاخص نيز ساليانه ۲۰ درصد مى‌باشد. بازده سود سهام مورد انتظار براى ماه اول و دوم به ترتيب برابر با ۲ درصد و ۳ درصد مى‌باشد. بنابراين در اين حالت: σ = ۰/۰۲, r = ۰/۸ , X = ۳۰۰, S = ۳۱۰, T - t = ۰/۱۶۶۷ خواهد بود، متوسط بازده سود سهام در هر دو ماه ۵ درصد و يا ساليانه ۳ درصد مى‌باشد. بنابراين، α =۰/۰۳ بوده و کاربر معادله (۲۶) نتيجه زير را به‌دست مى‌آيد:


  ۰/۰۳۳۳۳ + ۰/۰۷ ? ۰/۱۶۶۷  = ۰/۵۵۱۱
d۱ =
  ۰/۲ ۰/۱۶۶۷


  ۰/۰۳۳۳۳ + ۰/۰۳ ? ۰/۱۶۶۷  = ۰/۴۶۹۰۴
d۲ =
  ۰/۲ √ ۰/۱۶۶۷


N ( d۲ ) = ۰/۶۷۸۲


N ( d۱ ) = ۰/۷۰۶۹


به اين ترتيب، قيمت اختيار معامله خريد ”C“ برابر خواهد بود با:


C = ۳۱۰ ? ۰/۷۰۶۹e( - ۰/۰۳ ? ۰/۱۶۶۷) - ۳۰۰ ? ۰/۶۷۸۲e( - ۰/۰۸ ? ۰/۱۶۶۷) = ۱۷/۲۸


به اين ترتيب، قيمت هر قرارداد اختيار معامله صادره روى شاخص ۵۰۰ سهم استاندارد اند پورز بالغ بر ۱۷۲۸(۱۰۰ × ۲۸/۱۷)دلار خواهد گرديد.