وقتی ارسطو می گوید اصل عدم تناقض نمی تواند ثابت شود، زیرا چیزی قبل از آن وجود ندارد که بتواند آن [اصل] را ثابت کند، او متوسل به نظریه عمومی تری راجع به برهان یا استدلال می شود: هیچ نظامی از استدلال ها نمی تواند اصول اولیه خود را ثابت کند. استدلال او درباره این امر در «تحلیل دوم(posterior analytics)» مطرح می شود، کاری که بهترین توجه را به عنوان قدیمی ترین رساله ای که در مورد ماهیت برهان ریاضی وجود دارد، مبذول داشته است. موضوع تحلیل دوم؛ علوم استدلالی است:

یک علم استدلالی یک بدنه معرفتی سازمان یافته شده درون استدلال ها (برهان) است که به ترتیب استدلال های قیاسی از مقدمات هستند که قبلا اثبات شده اند. اگر یک حقیقت یا صدق قابل استدلال است، از نظر ارسطو، داشتن آن فقط از طریق ارائه استدلال آن مقدور است: برهان ها نه وسیله ای برای فهمیدن حقایق جدید است و نه وسیله ای آموزشی و توضیحی برای پیدا کردن نتایج جدید است، بلکه برای شناخت لازم و ضروری است. اگرچه او علوم استدلالی را به ریاضیات محدود نمی کند، واضح است که او هندسه و ریاضیات را به عنوان واضح ترین مثال های علوم استدلالی مورد توجه قرار می دهد.

از نظر ارسطو، یک استدلال یک قیاس است که همچنین نشان می دهد چرا چیزی ضروری است. این دو محدودیت انتقادی روی استدلال ها را نشان می دهد: هیچ چیزی نمی تواند استدلالی شود مگر این که چیزی ضروری باشد و هیچ چیز نمی تواند استدلالی شود مگر این که دارای علت یا تبیین باشد. چون استدلال ها، شناسه های معتبر هستند هر آنچه به طور عمومی شناسه ها را معتبر می کند، استدلال ها را نیز معتبر می سازد.

بنابراین، یک جای طبیعی برای شروع بحث استدلال ها باید همراه با یک رویکرد عمومی نسبت به اعتبار (Validity) باشد. ارسطو به طور قطع نیت و قصد خود را در ابتدای تحلیل اول بیان می کند که موضوع اصلی که او تعریف می کند «قیاس» (Syllogism)است که یک استدلال که در آن، برخی چیزها فرض شده است و برخی چیزها به صورت ضروری از چیزهایی که فرض شده منتج می شود، اما ارسطو فکر می کرد همه استدلال های معتبر می توانند به یک مجموعه معین از اشکال معتبر تحویل شوند که او معمولا به استدلال های شکل ها ارجاع می دهد (لغت شناسی مدرن به این اشکال به عنوان و قیاس ها، ارجاع می دهد) .

ارسطو این موضع را داشت که یک گزاره ساده همیشه تایید (ایجاب) یا انکار (سلب) یک حمل ساده از یک موضوع ساده است: «سقراط می نشیند»، «نشستن سقراط» را تایید می کند، افلاطون پرواز نمی کند، پرواز کردن افلاطون را انکار می کند.

او علاوه بر محموله های ساده ای که در اینجا مطرح شده اند؛ به همراه افراد به عنوان موضوع ها، به جملات همراه با موضوعات عام به عنوان حمل نیز می پردازد: «همه یونانیان بشر هستند»، «سگ ها پستاندار هستند»، «گربه ها جانورانی دو پا نیستند»، در حقیقت نظریه منطقی ارسطو نظریه حمل های عام (General Predication) است. بعلاوه جهت تمایز بین ایجاب و سلب، حمل های عام نیز می توانند مطابق آنچه حمل از سوی همه یا فقط بخشی از موضوعش مورد تایید یا انکار واقع شده است، تقسیم شوند.

بر این اساس، ۴ نوع از حمل های عام می توان در نظر گرفت:

▪ تایید شده (ایجابی) ،

▪ انکار شده (سلبی) ،

▪ عام (کلیه) ؛ «هر انسانی مردنی است»، «هیچ انسانی مردنی نیست»،

▪ خاص (جزئیه) «برخی انسان ها مردنی هستند»، «چنین نیست که هر انسانی مردنی باشد»

پس ارسطو بیان می کند؛ ترکیب دو مقدمه ای که دارای یک لفظ مشترک هستند؛ جمله سومی را نتیجه خواهد داد که دارای ۲ لفظ غیرمشترک به عنوان موضوع و محمول است. او ۳ امکان برای لفظی که در جمله های مقدمه، مشترک است؛ در نظر می گیرد (که در لغت شناسی او به عنوان اوسط در نظر گرفته می شود) : این لفظ می تواند محمول یکی و موضوع دیگری باشد. او این حالت را شکل اول می نامد، یا مجموع هر دو باشد (شکل دوم) یا موضوع هر دو باشد (شکل سوم) . او بحث های خود را با اتخاذ چرای قضیه [موجبه کلیه، موجبه جزئیه، سالبه کلیه، سالبه جزئیه] در شکل اول به عنوان پایه به پیش می برد. سپس به صورت سیستماتیک همه ترکیبات دیگر را در همه اشکال بررسی می کند:

۱) در برخی موارد، او نشان می دهد که یک نتیجه به وسیله قیاسی که از مقدمات صورت می گیرد به دست می آید، یکی از چهار شکل قیاس و قواعد معین استنتاج را مورد استفاده قرار می دهد

۲) در سایر موارد، او نشان می دهد که هیچ نتیجه ای با ارائه یک مجموعه از مثال های نقض در هر شکل از قیاس گرفته نمی شود. به عنوان نتیجه، او نه تنها تعداد بسیار زیادی از همه قالب های معتبر و استدلال در شکل ها را دارد، بلکه همچنین نشان داده است که همه آنها می توانند به چهار شکل پایه ای تحویل شوند؛ او همچنین نشان می دهد دو شکل پایه ای می توانند از دو شکل تا حدودی طویل تر دیگر مشتق شوند.

دفاع او از این مورد ضرورتا پیچیده تر است، چون شامل تحلیل شکل های مختلف استدلال می شود، برای هر کدام، او روش هایی برای استخراج و بیرون کشیدن یک استدلال دارای شکل پیشنهاد می دهد. من در اینجا جزئیات تئوری او را دنبال نخواهم کرد. (نگاه کنید ۱۹۷۳بهCorcoan،۱۹۵۷Lukasiewicz ،۱۹۷۴Smiley ،۱۹۸۹ ) Smith توجه من در عوض درباره کل مقاله است. توجه ارسطو همراه با این استدلال است که هر استدلال معتبر می تواند به تعداد کمی از اشکال معتبر تحویل داده شود. این نوعی از نتیجه نیست که مولف یک کتاب برای آزمون اعتبار استدلال ها می خواهد. اما به هر حال، نوعی از نتیجه است که انسان در مطالعه ساختارهای برهان آن را ارزشمند خواهد یافت.